Русская Википедия:Теорема Риба о сфере
Теорема Риба о сфере: Пусть на замкнутом ориентируемом связном многообразии <math>M^n</math> существует слоение с особенностями, все особые точки которого изолированы и являются центрами. Тогда <math>M^n</math> гомеоморфно сфере <math>S^n</math>, и слоение имеет ровно две особые точки.
Теорема доказана в 1946 году французским математиком Жоржем Рибом.
Морсовское слоение
Изолированная особая точка слоения F называется точкой морсовского типа, если в её малой окрестности все слои являются уровнями некоторой функции Морса, а сама она является критической точкой этой функции.
Особая точка морсовского типа называется центром, если она является локальным экстремумом функции; в противном случае она называется седлом.
Обозначим ind p = min(k, n − k), индекс особенности <math>p</math>, где k — индекс соответствующей критической точки морсовской функции. В частности, центр имеет индекс 0, индекс седла по меньшей мере 1.
Морсовское слоение F на многообразии M это особое трансверсально ориентированное слоение коразмерности 1 класса C2 с изолированными особенностями, причем:
- все особенности F морсовского типа,
- каждый особый слой L содержит только одну особую точку p; при этом, если ind p = 1 то <math>L\setminus p</math> несвязно.
Пусть c — число центров морсовского слоения F, и <math>s</math> — число его седел, оказывается, что разность c − s тесно связана с топологией многообразия <math>M</math>.
Теорема Риба о сфере
Рассмотрим случай c > s = 0, то есть все особенности являются центрами, седла отсутствуют.
Теорема:[1] Пусть на замкнутом ориентированном связном многообразии <math>M^n</math> размерности <math>n\ge 2</math> существует <math>C^1</math>-трансверсально ориентированное слоение <math>F</math> коразмерности 1 с непустым множеством изолированных особых точек, которые все являются центрами. Тогда слоение <math>F</math> имеет ровно две особые точки, и многообразие <math>M^n</math> гомеоморфно сфере <math>S^n</math>.
Этот факт является следствием теоремы Риба об устойчивости.
Вариации и обобщения
Более общим является случай <math>c>s\ge 0.</math>
В 1978 году Вагнер (E. Wagneur) обобщил теорему Риба о сфере на морсовские слоения с седлами. Он показал, что число центров не может быть слишком велико в сравнении с числом седел, а именно, <math>c\le s+2</math>. Таким образом, есть ровно два случая, когда <math>c>s</math>:
- (1) <math>c=s+2,</math>
- (2) <math>c=s+1.</math>
Вагнер также описал многообразия, на которых существуют слоения, удовлетворяющие случаю (1).
Теорема[2]: Пусть на компактном связном многообразии <math>M^n</math>, существует морсовское слоение <math>F</math> с <math>c</math> центрами и <math>s</math> седлами. Тогда <math>c\le s+2</math>. Если <math>c=s+2</math>, то
- <math>M^n</math> гомеоморфно сфере <math>S^n</math>,
- все седла имеют индекс 1,
- каждый неособый слой диффеоморфен сфере <math>S^{n-1}</math>.
Наконец, в 2008 году Камачо и Скардуа (C. Camacho, B. Scardua) рассмотрели случай (2), <math>c=s+1</math>. Интересно, что этот случай возможен только в некоторых размерностях.
Теорема[3]: Пусть <math>M^n</math> компактное связное многообразие и <math>F</math> — морсовское слоение на <math>M^n</math>. Если <math>s = c + 1</math>, то
- <math>n=2,4,8</math> или <math>16</math>,
- <math>M^n</math> является многообразием Илса — Кёйпера.
Ссылки
- ↑ G. Reeb, Sur les points singuliers d’une forme de Pfaff complétement intégrable ou d’une fonction numérique. — C.R.A.S. Paris 222, 1946, pp. 847—849.[1] Шаблон:Wayback
- ↑ E. Wagneur, Formes de Pfaff à singularités non dégénérées — Annales de l’institut Fourier, 28, N3, 1978, p. 165—176 [2] Шаблон:Wayback
- ↑ C. Camacho, B. Scardua, On foliations with Morse singularities. — Proc. Amer. Math. Soc., 136, 2008, p. 4065—4073[3]
