Русская Википедия:Теорема Риса — Торина

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Риса — Торина — утверждение о свойствах интерполяционных пространств. Была сформулирована в 1926 году Марселем Рисом, и в операторной форме сформулирована и доказана Шаблон:Iw в 1939 году.

Согласно теореме, для двух пространств <math>(\Omega_{1}, \Sigma_{1}, \mu_{1})</math> и <math>(\Omega_{2}, \Sigma_{2}, \mu_{2})</math> с мерами <math>\mu_{1}</math> и <math>\mu_{2}</math> соответственно и двух банаховых пространств комплекснозначных функций <math>L_{p}(\Omega_{i})</math>, суммируемых с <math>p</math>-й степенью <math>(p \geqslant 1)</math> по мерам <math>\mu_{i}</math> <math>(i = 1, 2)</math>, тройка банаховых пространств <math>(L_{p_{0}}(\Omega_{1}), L_{p_{1}}(\Omega_{1}), L_{p}(\Omega_{1}))</math> является нормально интерполяционной типа <math>\alpha</math> относительно тройки <math>(L_{q_{0}}(\Omega_{2}), L_{q_{1}}(\Omega_{2}), L_{q}(\Omega_{1}))</math>, если:

<math>\frac{1}{p} = \frac{1-\alpha}{p_{0}} + \frac{\alpha}{p_{1}}</math> и <math>\frac{1}{q} = \frac{1-\alpha}{q_{0}} + \frac{\alpha}{q_{1}}</math>,

где <math>0 \leqslant \alpha \leqslant 1</math>Шаблон:Sfn. (Тройка банаховых пространств <math>(A, B, E)</math> является интерполяционной типа <math>\alpha</math>, где <math>0 \leqslant \alpha \leqslant 1</math>, относительно тройки <math>(C, D, F)</math>, если она интерполяционна и выполнено неравенство <math>\| T \|_{E \rightarrow F} \leqslant c \| T \|_{A \rightarrow C}^{1-\alpha} \| T \|_{B \rightarrow D}^{\alpha}</math>Шаблон:Sfn.)

Доказательство теоремы использует теорему о трёх прямых из теории аналитических функций.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга