Файл:Satz von Reuschle3.svgТеорема Ройшле: чевианы <math>AP_a</math>, <math>AP_b</math> и <math>AP_c</math> пересекаются в точке <math>D</math> <math>AP'_a</math>, <math>AP'_b</math> и <math>AP'_c</math> пересекаются в <math>D'</math>
Теорема Ройшле описывает свойства чевиан треугольника, пересекающихся в одной точке. Теорема названа именем немецкого математика Карла Густава Ройшле (1812—1875). Известна также как теорема Теркема по имени французского математика Олри Теркема (1782—1862), опубликовавшего её в 1842 году.
В треугольнике <math>ABC</math> с тремя чевианами, пересекающимися в общей точке, отличной от вершин <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, обозначим <math>P_a</math>, <math>P_b</math> и <math>P_c</math> пересечения продолженных сторон треугольника и чевиан. Окружность, проходящая через три точки <math>P_a</math>, <math>P_b</math> и <math>P_c</math> пересекает продолжения сторон треугольника в точках <math>P'_a</math>, <math>P'_b</math> и <math>P'_c</math>. Теорема Ройшле утверждает, что эти три новые чевианы <math>AP'_a</math>, <math>BP'_b</math> и <math>CP'_c</math> пересекаются также в одной точке.
Частный случай. Пример теоремы Ройшле
Для окружности девяти точек, которая, в числе прочих, носит и название «окружность Теркема», Теркем доказал теорему Теркема[1]. Она утверждает, что если окружность девяти точек пересекает стороны треугольника или их продолжения в 3 парах точек (в 3 основаниях соответственно высот и медиан), являющихся основаниями 3 пар чевиан, то, если 3 чевианы для 3 из этих оснований пересекаются в 1 точке (например 3 медианы пересекаются в 1 точке), то 3 чевианы для 3 других оснований также пересекаются в 1 точке (то есть 3 высоты также обязаны пересечься в 1 точке).
