Русская Википедия:Теорема Ролля

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Теорема Ро́лля (теорема о нуле производной) — теорема математического анализа, входящая, вместе с теоремами Лагранжа и Коши, в число так называемых «теорем о среднем значении». Теорема утверждает, что Шаблон:Рамка Если вещественная функция, непрерывная на отрезке <math>[a, b]</math> и дифференцируемая на интервале <math>(a, b)</math>, принимает на концах отрезка <math>[a,b]</math> одинаковые значения, то на интервале <math>(a, b)</math> найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю. Шаблон:Конец рамки

Доказательство

Файл:Теорема Ролля.png
Геометрический смысл теоремы Ролля
Файл:Roots of polynomial and its derivative.png
Следствие теоремы Ролля: между каждыми двумя последовательными корнями многочлена лежит корень его производной

Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.

Если же нет, поскольку функция непрерывна на <math>[a,b]</math>, то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по лемме Ферма производная в этой точке равна 0.

Геометрический и физический (механический) смысл

С геометрической точки зрения теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.

Механический смысл теоремы в том, что тело, вернувшееся в исходную точку, в некоторый момент в ходе своего движения имело нулевую скорость.

Существенность условий теоремы и соответствующие контрпримеры

Все условия теоремы: непрерывность функции на отрезке, дифференцируемость на интервале и равенство значений на концах отрезка - существенны. При исключении каждого из этих условий легко подобрать контрпример, свидетельствующий, что заключение теоремы становится неверным.

Следствия

1° Если дифференцируемая функция обращается в нуль в <math>n</math> различных точках, то её производная обращается в нуль по крайней мере в <math>n-1</math> различных точках[1], причем эти нули производной лежат в выпуклой оболочке нулей исходной функции. Это следствие легко проверяется для случая действительных корней, однако имеет место и в комплексном случае.

2° Если все корни многочлена <math>n</math>-ой степени действительные, то и корни всех его производных до <math>n-1</math> включительно — также исключительно действительные.

3° (Теорема Лагранжа) Дифференцируемая функция на отрезке между двумя своими точками имеет касательную, параллельную секущей/хорде, проведённой через эти две точки.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

  1. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. — Численные методы, стр.43