Русская Википедия:Теорема Сарда

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Теорема Сарда — одна из теорем математического анализа, имеющих важные приложения в дифференциальной геометрии и топологии, теории катастроф и теории динамических систем.[1]

Названа в честь американского математика Шаблон:Iw.[2] В некоторых источниках называется теоремой Бертини — Сарда,[3] а также иногда связывается с именами Энтони Морса (им получен более ранний частный результат)[4] и Шломо Стернберга (более поздний, но более общий результат)[5].

Формулировка

Пусть <math>U</math> — открытое множество в пространстве <math>\R^m</math> и <math>f: U \to\R^n</math> — гладкая функция класса <math>C^k,</math> где число <math>k\geqslant 1.</math> Пусть <math>S \subset U</math> — множество критических точек функции <math>f.</math> Если <math>k \geqslant m-n+1,</math> то множество критических значений <math>f(S)</math> является множеством меры нуль (в смысле меры Лебега) в пространстве <math>\R^n.</math>

Замечания

Как показал Х. Уитни, степень гладкости <math>k</math> здесь не может быть уменьшена ни при каких сочетаниях <math>m</math> и <math>n.</math>[6] [7]

Пример

Рассмотрим тождественно постоянную функцию <math>f \equiv f_0.</math> Все точки её области определения <math>U</math> являются критическими, следовательно, <math>S=U.</math> Однако множество критических значений <math>f(S)</math> состоит из единственной точки <math>f_0</math>, и следовательно, имеет нулевую меру Лебега.

Вариации и обобщения

Лемма Сарда

Шаблон:Рамка Мера множества критических значений <math>C^1</math>-гладкой функции <math>f: [a,b] \to\R^1</math> равна нулю. Шаблон:Конец рамки Доказательство. Без ограничения общности будем считать отрезок <math>[a,b]=[0,1].</math> Выберем число <math>\varepsilon>0</math> и разобьём отрезок <math>[0,1]</math> на <math>n</math> равных частей так, чтобы на каждой из них колебание производной <math>f'</math> не превосходило <math>\varepsilon.</math> Это можно сделать в силу того, что по условию леммы, функция <math>f'</math> непрерывна на отрезке <math>[0,1]</math>, и следовательно (Теорема о равномерной непрерывности), равномерно непрерывна на нём, т. е. <math> \forall \varepsilon>0 \ \exist \delta>0 \ \forall x_1, x_2 \in [0,1]: \ |x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon. </math>

Обозначим через <math>\Delta_i</math> те отрезки (части сделанного выше разбиения), которые содержат хотя бы одну критическую точку функции <math>f,</math> т. е. <math>\exist \xi_i\in \Delta_i \ : \ f'(\xi_i)=0.</math> Очевидно, что для таких отрезков справедлива оценка <math>|f'(x)| \leqslant \varepsilon</math> для всех <math>x \in \Delta_i</math>, и следовательно (Формула конечных приращений), для любых двух точек <math>y_1,y_2 \in f(\Delta_i)</math> выполнено неравенство <math> |y_1-y_2| \leqslant \max_{x\in \Delta_i} |f'(x)| \cdot |\Delta_i| \leqslant \varepsilon/n. </math>

Покроем каждое множество <math>f(\Delta_i)</math> интервалом длины <math>2{\cdot}\varepsilon/n,</math> тогда мы получим покрытие множества всех критических значений интервалами, сумма длин которых не превосходит <math>2{\cdot}\varepsilon/n \cdot n = 2{\cdot}\varepsilon.</math> В силу произвольности выбора числа <math>\varepsilon</math> это означает, что мера множества критических значений равна нулю.

Теорема Дубовицкого

Пусть <math>M^m</math> и <math>N^n</math> — два гладких многообразия положительных размерностей <math>m</math> и <math>n</math> и <math>f: M^m \to N^n</math> — гладкая функция класса <math>C^k,</math> где <math>k\geqslant 1.</math> Точка <math>x\in M^m</math> называется неправильной, если ранг матрицы Якоби функции <math>f</math> в ней меньше <math>n.</math> Точка <math>y\in N^n</math> называется неправильной, если <math>y=f(x)</math> хотя бы для одной неправильной точки <math>x\in M^m</math>. В случае <math>m\geqslant n</math> понятие неправильной точки совпадает с понятием критической точки функции. В случае <math>m<n</math> все точки многообразия <math>M^m</math> являются неправильными. Шаблон:Рамка Если число <math>k \geqslant m-n+1,</math> то множество неправильных точек отображения <math>f</math> в многообразии <math>N^n</math> имеет первую категорию по Бэру, то есть является конечным или счётным объединением компактных множеств, нигде не плотных в <math>N^n.</math> Шаблон:Конец рамки Эта теорема была доказана советским математиком А. Я. Дубовицким[8][9][10].

Другие аналоги

Бесконечномерный аналог теоремы Сарда (для многообразий в банаховых пространствах) получен Стивеном Смейлом[11]. Аналоги для отображений пространств Гёльдера и Соболева получены в[12]. Аналог для функций пониженной гладкости получен в[13].

Литература

  • Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.
  • Зорич В. А. Математический анализ, — Любое издание.
  • Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология (начальный курс), — Любое издание.
  • Хирш М. Дифференциальная топология, — Любое издание.
  • Спивак М. Математический анализ на многообразиях, — М.: Мир, 1968.
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения, — Любое издание.
  • Sard A. The measure of the critical values of differentiable maps, — Bull. Amer. Math. Soc., 48 (1942), pp. 883—890.
  • Sternberg S. Lectures on differential geometry, — Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1964.
  • Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применение в теории гомотопий. — М.: Наука, 1985. — 176 c.

Примечания

Шаблон:Примечания

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, параграф 10.
  2. ↑ Шаблон:Cite web
  3. ↑ Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, параграф 2.
  4. ↑ Morse A.P. The behaviour of a function on its critical set. — Annals of Mathematics, vol. 40, N 1 (1939), pp. 62—70.
  5. ↑ Sternberg S. Lectures on differential geometry.
  6. ↑ Зорич В. А. Математический анализ, том II, глава XI, параграф 5.
  7. ↑ Whitney H. A function not constant on a connected set of critical points, — Duke Math. J., 1 (1935), 514—517.
  8. ↑ Дубовицкий А. Я. О дифференцируемых отображениях n-мерного куба в k-мерный куб. Матем. сб., 1953, 32(74):2, с. 443—464.
  9. ↑ Дубовицкий А. Я. О структуре множеств уровня дифференцируемых отображений n-мерного куба в k-мерный куб. Изв. АН СССР. Сер. матем., 1957, 21:3, с. 371—408.
  10. ↑ Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий, — Любое издание.
  11. ↑ Smale S. An Infinite Dimensional Version of Sard’s Theorem, — American Journal of Mathematics, vol. 87, N 4 (1965), pp. 861—866.
  12. ↑ Bojarski B., Hajlasz P., Strzelecki P. Sard’s theorem for mappings in Holder and Sobolev spaces, — Manuscripta Math., 118 (2005), pp. 383—397.
  13. ↑ Коробков М. В. Об одном аналоге теоремы Сарда для <math>C^1</math>-гладких функций двух переменных, — Сибирский математический журнал, 2006, 47:5, с. 1083—1091.
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Теорема_Сарда&oldid=10920016