Русская Википедия:Теорема Слуцкого

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теоре́ма Слу́цкого связывает сходимость по мере и слабую сходимость случайных величин. Названа в честь Евгения Евгеньевича Слуцкого.

Формулировка

Пусть дано вероятностное пространство <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math>, и <math>X_n,Y_m: \Omega \to \mathbb{R},\, n,m\in \mathbb{N}</math> — случайные величины. Тогда если

<math>X_n \to^{\!\!\!\!\!\!\!\mathcal{D}} X</math>,

где <math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math> — случайная величина, и

<math>Y_m \to^{\!\!\!\!\!\! \mathbb{P}} c</math>,

где <math>c \in \mathbb{R}</math> — константа, то

<math>X_n + Y_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! \mathcal{D}} X + c </math>

и

<math>X_n \cdot Y_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! \mathcal{D}} c \cdot X</math>.

Обобщение

Пусть в предположениях классической теоремы имеется непрерывная функция <math>f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math>. Тогда

<math>f(X_n,Y_n) \to^{\!\!\!\!\!\!\! \mathcal{D}} f(X,c)</math>.

См. также

• Сходимость по вероятности
• Сходимость по распределению
• Теорема Манна — Вальда