Русская Википедия:Теорема Сохоцкого — Племеля
Теорема Сохоцкого — Племеля (польская орфография Sochocki) — теорема в комплексном анализе, которая помогает в оценке определённых интегралов. Версия для вещественной прямой (см. ниже) часто используется в физике, хотя и редко называется по имени. Теорема названа в честь Юлиана Сохоцкого, который доказал её в 1868 году, и Йосипа Племеля, который заново открыл её в качестве основного ингредиента своего решения задачи Римана — Гильберта в 1908 году.
Формулировка теоремы
Пусть C гладкая замкнутая простая кривая на плоскости, и φ — аналитическая функция на C. Тогда интеграл типа Коши
- <math> \frac{1}{2\pi i} \int_C\frac{\varphi(\zeta)d\zeta}{\zeta-z}, </math>
определяет две аналитические функции от z, φi внутри C и φe снаружи. Формулы Сохоцкого — Племеля соотносят граничные значения этих двух аналитических функций в точке z на C и главное значение по Коши <math>\mathcal{P}</math> интеграла:
- <math> \phi_i(z)=\frac{1}{2\pi i}\mathcal{P}\int_C\frac{\varphi(\zeta) d\zeta}{\zeta-z}+\frac{1}{2}\varphi(z),</math>
- <math> \phi_e(z)=\frac{1}{2\pi i}\mathcal{P}\int_C\frac{\varphi(\zeta) d\zeta}{\zeta-z}-\frac{1}{2}\varphi(z).</math>
Последующие обобщения устраняют требования гладкости на кривой C и функции φ.
Версия для вещественной прямой
Особенно важна версия этой теоремы для интегралов на вещественной прямой.
Пусть ƒ — комплекснозначная функция, которая определена и непрерывна на вещественной оси, и пусть a и b — вещественные числа такие, что a < 0 < b. Тогда
- <math>\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \int_a^b \frac{f(x)}{x\pm i \varepsilon}\,dx = \mp i \pi f(0) + \mathcal{P}\int_a^b \frac{f(x)}{x}\, dx,</math>
где <math>\mathcal{P}</math> обозначает главное значение Коши.
Доказательство для вещественной прямой
Простое доказательство состоит в следующем.
- <math>
\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \int_a^b \frac{f(x)}{x\pm i \varepsilon}\,dx = \mp i \pi \lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \int_a^b \frac{\varepsilon}{\pi(x^2+\varepsilon^2)}f(x)\,dx + \lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \int_a^b \frac{x^2}{x^2+\varepsilon^2} \, \frac{f(x)}{x}\, dx.</math> Для первого слагаемого, отметим, что <math> \tfrac{\varepsilon}{\pi (x^2 + \varepsilon^2)} </math> — это зарождающаяся дельта-функция, и поэтому приближается к дельта-функции Дирака в пределе. Следовательно, первое слагаемое равно <math> \mp i \pi f(0) </math>.
Для второго слагаемого, мы отмечаем, что фактор <math> \tfrac{x^2}{x^2 + \varepsilon^2} </math> стремится к 1 для |х| ≫ ε, и стремится к 0 при |х| ≪ ε, а именно симметричная функция относительно 0. Поэтому, в пределе, получается интеграл в смысле главного значения по Коши.
Приложения к физике
В квантовой механике и квантовой теории поля, часто приходится оценивать интегралы вида
- <math>\int_{-\infty}^\infty dE\, \int_0^\infty dt\, f(E)\exp(-iEt),</math>
где Е — это некоторая энергия и t — время. В данной форме выражение не определено (поскольку интеграл по времени не сходится), поэтому его обычно изменяют путём добавления отрицательного вещественного коэффициента к t в экспоненте, а затем устремляют этот коэффициент к нулю:
- <math>\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \int_{-\infty}^\infty dE\, \int_0^\infty dt\, f(E)\exp(-iEt-\varepsilon t)</math>
- <math>= -i \lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \int_{-\infty}^\infty \frac{f(E)}{E-i\varepsilon}\,dE = \pi f(0)-i \mathcal{P}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(E)}{E}\,dE,</math>
где теорема Сохоцкого используется на последнем шаге.
См. также
Литература
- Шаблон:Книга Chapter 3.1.
- Шаблон:Книга Appendix A, equation (A.19).
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Citation
- Шаблон:Книга
- Blanchard, Bruening: Mathematical Methods in Physics (Birkhauser 2003), Example 3.3.1 4
- Шаблон:Книга
