Русская Википедия:Теорема Стокса

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Стокса — одна из основных теорем дифференциальной геометрии и математического анализа об интегрировании дифференциальных форм, которая обобщает несколько теорем анализа. Названа в честь Дж. Г. Стокса.

Формулировка

Пусть на ориентируемом многообразии <math>M</math> размерности <math>n</math> заданы положительно ориентированное ограниченное <math>p</math>-мерное подмногообразие <math>\sigma</math> (<math>1\leqslant p\leqslant n</math>) и дифференциальная форма <math>\omega</math> степени <math>p-1</math> класса <math>C^1</math>. Тогда если граница подмногообразия <math>\partial\sigma</math> положительно ориентирована, то

<math>\int\limits_\sigma d\omega=\int\limits_{\partial\sigma}\omega,</math>

где <math>d\omega</math> обозначает внешний дифференциал формы <math>\omega</math>.

Теорема распространяется на линейные комбинации подмногообразий одной размерности — так называемые цепи. В этом случае формула Стокса реализует двойственность между когомологиями де Рама и гомологиями циклов многообразия <math>M</math>.

Частные случаи

Формула Ньютона — Лейбница

Пусть дана кривая <math>l</math> (одномерная цепь), ориентированно направленная от точки <math>a</math> к точке <math>b</math>, в многообразии произвольной размерности. Форма <math>\omega</math> нулевой степени класса <math>C^1</math> — это дифференцируемая функция <math>f</math>. Тогда формула Стокса записывается в виде

<math>\int\limits_l df=\int\limits_l f'\,dx=\int\limits_a^b f'\,dx=f(b)-f(a).</math>

Теорема Грина

Иногда называют теоремой Грина — Римана. Пусть <math>M</math> — плоскость, а <math>D</math> — некоторая её положительно ориентированная ограниченная область с кусочно-гладкой жордановой границей. Пусть форма первой степени, записанная в координатах <math>x</math> и <math>y,</math> — это выражение <math>L\,dx+M\,dy.</math> Тогда для интеграла от этой формы по положительно ориентированной (против часовой стрелки) границе области <math>D</math> верно

<math>\ \int\limits_{\partial D} \left(L\,dx+M\,dy\right)=\iint\limits_D\left(\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y}\right)\,dx\,dy.</math>

Шаблон:Доказ1+\dfrac{\partial M}{\partial x}\,dx\wedge dy=\left(\dfrac{\partial M}{\partial x}-\dfrac{\partial L}{\partial y}\right)\,dx\wedge dy.</math> Отсюда используя теорему Стокса:

<math>\int\limits_{\partial D}L\,dx+M\,dy=\iint\limits_D\left(\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y}\right)\,dx\,dy.</math>

}} Независимое доказательство формулы Грина приведено в её основной статье.

Формула Кельвина — Стокса

Часто называется просто формулой Стокса. Пусть <math>\Sigma</math> — кусочно-гладкая поверхность (<math>p=2</math>) в трёхмерном евклидовом пространстве (<math>n=3</math>), <math>\mathbf{F}</math> — дифференцируемое векторное поле. Тогда циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура <math>\partial\Sigma</math> равна потоку ротора (вихря) поля через поверхность <math>\Sigma</math>, ограниченную контуром:

<math>\int\limits_\Sigma\mathrm{rot}\,\mathbf{F}\cdot d\mathbf{\Sigma}=\int\limits_{\partial\Sigma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},</math>

или в координатной записи:

<math>\iint\limits_{\Sigma}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\,dy\,dz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\,dz\,dx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dx\,dy=\int\limits_{\partial\Sigma}P\,dx+Q\,dy+R\,dz.</math>

Часто в правой части пишут интеграл по замкнутому контуру.

Формула Остроградского — Гаусса

Пусть теперь <math>\partial V</math> — кусочно-гладкая гиперповерхность (<math>p=n-1</math>), ограничивающая некоторую область <math>V</math> в <math>n</math>-мерном пространстве. Тогда интеграл дивергенции поля по области равен потоку поля через границу области <math>\partial V</math>:

<math>\int\limits_V\mathrm{div}\,\mathbf{F}\,dV=\int\limits_{\partial V}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{\Sigma}.</math>

В трёхмерном пространстве <math>(n=3)</math> с координатами <math>\{x, y, z\}</math> это эквивалентно записи:

<math>\ \int\limits_{\partial V}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{\Sigma}=\int\limits_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\,dV</math>

или

<math>\iint\limits_{\partial V}P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy=\iiint\limits_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\,dx\,dy\,dz.</math>

Литература

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления — Т. 3
• Арнольд В. И. Математические методы классической механики (djvu)Шаблон:Недоступная ссылка Шаблон:Недоступная ссылка
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.

См. также

• Векторный анализ
• Дифференциальная форма
• Формулы векторного анализа
• Дифференциальные геометрия и топология