Русская Википедия:Теорема Стоуна о группах унитарных операторов в гильбертовом пространстве

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Другие значения Теорема Стоуна о группах унитарных операторов в гильбертовом пространстве — важный результат функционального анализа, утверждающий, что всякая сильно непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов представляется в виде:

<math> U_t = e^{i t \hat H} \quad t \in \mathbb{R}</math>,

где <math>\hat H</math> — некоторый самосопряженный оператор, а <math>t</math> — параметр. Верно и обратное: всякому самосопряженному оператору <math>\hat H</math> с помощью представления Стоуна можно поставить в соответствие сильно непрерывную однопараметрическую группу унитарных операторов.

Теорема была доказана американским математиком Маршаллом Стоуном в 1930 году и имела большое значение для становления квантовой механики, а также послужила толчком к созданию теории Купмана — фон Неймана.

Сильно непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов обладает следующими свойствами:

<math> \lim_{t \rightarrow t_0} U_t \xi = U_{t_0} \xi \quad \forall t_0 \in \mathbb{R}, \xi \in H </math>

<math> U_{t+s} = U_t U_s</math>.

Важность результата для физики заключается в том, что он гарантирует существование и единственность решений уравнений Шрёдингера и Лиувилля, а также сохранение нормировок волновых функций.

Ссылки

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• K. Yosida, Functional Analysis, Springer-Verlag, (1968).