Русская Википедия:Теорема Стюарта
Теорема Стюарта — метрическая теорема в евклидовой планиметрии.
Она утверждает, что если точка <math>D</math> лежит на стороне <math>BC</math> треугольника <math>ABC</math>, то
- <math> AD^2 = p^2 = b^2\frac{x}{a}+c^2 \frac{y}{a} - {xy}, </math>
где <math>y=CD</math>, <math>x=BD</math> и <math>a=x+y=BC</math> (рис. 1). Отрезок AD называется чевианой треугольника ABC.
Доказательства
Через произведение векторов
Одно из доказательств теоремы основано на применении векторной алгебры и, в частности, свойств скалярного произведения[1]. Представим вектор <math>\overrightarrow{AD},</math> длина которого искома, двумя способами:
- <math>\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD},\quad \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}.</math>
Первое уравнение домножим на длину <math>CD</math>, а второе — на <math>BD\colon</math>
- <math>\overrightarrow{AD}\cdot CD=\overrightarrow{AB}\cdot CD+\overrightarrow{BD}\cdot CD,</math>
- <math>\overrightarrow{AD}\cdot BD=\overrightarrow{AC}\cdot BD+\overrightarrow{CD}\cdot BD.</math>
Теперь сложим полученные уравнения:
- <math>\overrightarrow{AD}\cdot BC=(\overrightarrow{AB}\cdot CD~{\color{Red}+~\overrightarrow{BD}\cdot CD}) +(\overrightarrow{AC}\cdot BD~{\color{Red}+~\overrightarrow{CD}\cdot BD}),</math>
где <math>\overrightarrow{BD}\cdot CD +\overrightarrow{CD}\cdot BD=0,</math> так как <math>\overrightarrow{BD}\cdot CD</math> и <math>\overrightarrow{CD}\cdot BD</math> имеют равные длины и противоположны. Следовательно, сам вектор <math>\overrightarrow{AD}</math> равен
- <math>\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}\frac{CD}{BC}+\overrightarrow{AC}\frac{BD}{BC}.</math>
Его длину можно получить с помощью скалярного произведения вектора <math>\overrightarrow{AD}</math> на самого себя:
- <math>\left (\overrightarrow{AD} \right )^2=\left (\overrightarrow{AB} \right )^2\left (\frac{CD}{BC} \right )^2+\left (\overrightarrow{AC} \right )^2\left (\frac{BD}{BC} \right )^2+{\color{Green}2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}} \cdot \frac{CD}{BC}\cdot \frac{BD}{BC}.</math>
Далее, чтобы выразить <math>2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}</math> через длины, нужно найти <math>(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})^2\colon</math>
- <math>\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB},</math>
- <math>BC^2=AC^2-2 \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB} +AB^2,</math>
- <math>2 \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=AC^2+AB^2-BC^2.</math>
Отсюда окончательно получается, что
- <math>AD^2=AB^2\frac{CD^2}{BC^2}+AC^2\frac{BD^2}{BC^2}
+({\color{Green}AC^2+AB^2-BC^2})\frac{CD}{BC}\cdot\frac{BD}{BC},</math> Шаблон:Equation box 1
Через теорему косинусов
Выразим AB и AC через остальные стороны треугольников ABC и ACD и через углы <math>\angle ADB</math> и <math>\angle ADC,</math> смежные друг другу:
- <math>AB^2=BD^2+AD^2 - 2AD\cdot BD \cos \angle ADB, </math>
- <math> \begin{alignat}{2} AC^2 &= AD^2+DC^2~{\color{Green}-}~ 2AD \cdot DC \cos \angle AD{\color{Green}C}=
\\ & = AD^2+DC^2~{\color{Green}+}~2AD\cdot DC \cos \angle AD{\color{Green}B}. \\ \end{alignat} </math>
Умножим первое уравнение на <math>DC</math>, а второе — на <math>BD\colon</math>
- <math>
\begin{cases} AB^2DC=BD^2DC+AD^2DC - 2AD\cdot BD\cdot DC \cos \angle ADB, \\ AC^2BD = AD^2BD+DC^2BD+ 2AD\cdot DC\cdot BD \cos \angle ADB,\end{cases} </math>
Чтобы избавиться от косинуса угла ABD, сложим эти равенства:
- <math> AB^2DC+AC^2BD = (BD^2DC+AD^2DC)+(AD^2BD+DC^2BD), </math>
- <math> AB^2DC+AC^2BD-BD^2DC-DC^2BD=AD^2(DC+BD), </math>
- <math> AB^2DC+AC^2BD-BD\cdot DC(BD+DC)=AD^2(DC+BD), </math>
История
Теорема названа по имени доказавшего её английского математика М. Стюарта и опубликовавшего её в труде «Некоторые общие теоремы» (1746, Эдинбург). Теорему сообщил Стюарту его учитель Р. Симсон, который опубликовал эту теорему лишь в 1749 г.
Применение
- Теорему можно использовать для нахождения медиан и биссектрис треугольников, и частный случай теоремы Стюарта, когда чевиана вырождается в медиану, — это теорема Аполлония.
- Следствием теоремы Стюарта также является теорема Птолемея.Шаблон:Прояснить
Обобщение
- Теорема Стюарта обобщается до равенства Бретшнайдера для четырёхугольника: если одна вершина четырёхугольника попадает на сторону четырёхугольника, то из теоремы Бретшнайдера следует теорема Стюарта.
Примечания
Литература
- Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, И. И. Юдина. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 9 класс. 4-е изд. Изд-во Вита-Пресс, 2004. стр. 53.
- В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, С. А. Шестаков, И. И. Юдина. Геометрия. Пособие для углубленного изучения математики. Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2005. 488 с. стр. 302—303.
- Мантуров О. В., Солнцев Ю. К. Толковый словарь математических терминов. Пособие для учителей. Под редакцией Диткина В. А. М.: Просвещение, 1965. 540 с.
- Книга:Элементарная геометрия. Понарин
.svg){kind=link}