Русская Википедия:Теорема Таубера

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Таубера — теорема о свойствах степенных рядов вблизи границы круга сходимости. Является простейшей обратной теоремой к теореме Абеля о сходимости степенных рядов. Доказана Шаблон:Iw в 1897 году. Впоследствии была сформулирована и доказана при более общих условиях другими авторами (Теорема Абеля — Таубера).

Формулировка

Если <math>a_{n} = o\left(\frac{1}{n}\right)</math> при <math> n\to\infty </math>, и <math>\lim\limits_{x\to 1-0}\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}\right) = s</math>, то ряд <math>\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}</math> сходится, причём к сумме <math>s</math>.

Пояснения

Здесь равенство <math>f(x)=o(\varphi(x))</math> означает, что <math>\frac{f(x)}{\varphi(x)} \rightarrow 0</math>, когда <math>x</math> стремится к заданному пределу (см. О-нотация).

Доказательство

Достаточно доказать, что при <math>N=\left[\frac{1}{(1-x)}\right]</math> и <math>x \rightarrow 1-0</math> выполняется

<math>\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n} - \sum_{n=0}^{N} a_{n} \rightarrow 0</math>.

то есть

<math>\sum_{n=N+1}^{\infty} a_{n}x^{n} - \sum_{n=0}^{N} a_{n}(1-x^{n}) \rightarrow 0</math>.

Обозначим:

<math>S_{1}=\sum_{n=N+1}^{\infty} a_{n}x^{n}</math>,

<math>S_{2}=\sum_{n=0}^{N} a_{n}(1-x^{n})</math>.

Очевидно:

<math>\left | S_{1} \right | = \left | \sum_{n=N+1}^{\infty} n a_{n}\frac{x^{n}}{n} \right | <

\frac{\varepsilon}{N+1} \sum_{n=N+1}^{\infty} x^{n} < \frac{\varepsilon}{(N+1)(1-x)} < \varepsilon</math>.

Вследствие того, что

<math>1-x^{n}=(1-x)(1+x+...+x^{n-1}) < n(1-x)</math>

вытекает:

<math>\left | S_{2} \right | < (1-x) \sum_{n=0}^{N} n \left | a_{n} \right | \leqslant \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N} n \left | a_{n} \right |</math>.

В силу леммы правая часть стремится к нулю, так что и <math>\left | S_{2} \right | < \varepsilon</math>, при достаточно больших <math>N</math>, получаем <math>\left | S_{1} - S_{2} \right | < 2 \varepsilon</math>. Доказательство теоремы завершено.

Лемма

Если <math>b_{n} \rightarrow 0</math> при <math>n \rightarrow \infty</math>, то <math>\frac{b_{0}+b_{1}+...+b_{n}}{n+1} \rightarrow 0</math>.

Всегда можно найти такие числа <math>K</math>, <math>\epsilon</math>, <math>n_{0}</math>, что <math>\left | b_{n} \right | < K</math> при всех <math>n</math> и <math>\left | b_{n} \right | < \epsilon</math> при <math>n > n_{0}</math>.

Возьмем <math>n > n_{0}</math> и <math>n > (n_{0}+1)\frac{K}{\epsilon}</math>.

Имеем:

<math>\left | \frac{b_{0}+b_{1}+...+b_{n}}{n+1} \right | \leqslant \left | \frac{b_{0}+b_{1}+...+b_{n_{0}}}{n+1} \right | + \left | \frac{b_{n_{0}+1}+b_{n_0+2}+...+b_{n}}{n+1} \right |

\leqslant \frac{(n_{0}+1)K}{n+1} + \frac{(n-n_{0})\epsilon}{n+1} < 2 \epsilon</math>.

Доказательство леммы завершено.

Литература

• Шаблон:Книга