Русская Википедия:Теорема Тевенена
Теоре́ма Тевене́на (теорема Тевенина, теорема Тевенина — Гельмгольца[1]) — утверждение о том, что любой источник может быть эквивалентно заменён на последовательно соединённые идеальный источник напряжения и внутреннее сопротивление; является двойственным утверждением к теореме Нортона об эквивалентной замене произвольной цепи на параллельно соединённые идеальный источник тока и внутреннее сопротивление.
Впервые сформулирована Германом фон Гельмгольцем в 1853 году[2] и независимо от него французским инженером-электриком Шаблон:Нп2 в 1883 году[3][4].
Формулировка
Для не линейных электрических цепей теорема утверждает, что любая электрическая цепь, имеющая два вывода и состоящая из произвольной комбинации источников напряжения, источников тока и резисторов (сопротивлений), электрически для этих двух выводов эквивалентна цепи с одним идеальным источником напряжения с ЭДС <math>V</math> и одним резистором <math>R</math>, соединёнными последовательно с этим источником напряжения.
Иначе говоря, ток в любом сопротивлении <math>Z_n</math>, присоединенном к одной из выбранных цепей, равен току в этом же сопротивлении <math>Z_n</math>, присоединённом к идеальному источнику напряжения с напряжением, равным напряжению холостого хода цепи (напряжению на этих зажимах когда к ним ничего не подключено) и обладающим внутренним сопротивлением <math>Z_i</math>, равным полному сопротивлению внешней цепи, определённому со стороны зажимов <math>Z_n</math> при условии, что все источники внутри цепи заменены полными сопротивлениями, равными внутренним полным сопротивлениям этих источников.
То есть, экспериментально, параметры эквивалентной замены «чёрного ящика» с двумя выводами определяются из двух измерений — опыта холостого хода и опыта короткого замыкания. Пусть напряжение на зажимах (выводах) при холостом ходе будет <math>V,</math> а ток при коротком замыкании этих же зажимов <math>I,</math> тогда:
- <math>V_{th} = V </math> и <math>R_{th} = V/I </math>
- где <math>V_{th}</math> — ЭДС идеального источника напряжения в эквивалентной замене,
- <math>R_{th}</math> — сопротивление последовательно включенного с источником резистора в эквивалентной замене.
Если известна структура и параметры некоторой цепи, то формально можно вычислить параметры эквивалентной замены. При этом анализе при вычислении эквивалентного сопротивления все идеальные источники напряжения, входящие в цепь, мысленно закорачиваются, и вычисляется сопротивление полученной цепи относительно рассматриваемых зажимов. Далее пользуясь, например, правилами Кирхгофа вычисляется напряжение на зажимах. Полученные сопротивление и напряжение как раз и будут параметрами эквивалентной замены.
Теорема также применима для цепей синусоидального переменного тока в установившемся режиме, но при этом учитываются не активные сопротивления, токи и напряжения, а соответственно импедансы и комплексные амплитуды токов и напряжений.
Вычисление параметров эквивалентного источника
1. ЭДС эквивалентного источника вычисляется в режиме холостого хода, то есть находится напряжение между точками А и В в отсутствие подключённой нагрузки.
2. Внутреннее сопротивление эквивалентного источника можно определить двумя способами.
2.1. Все источники ЭДС в цепи заменяются закороткой, все источники тока — разрывом цепи. Находится сопротивление цепи относительно точек А и В. Это сопротивление будет равно внутреннему сопротивлению эквивалентного источника.
2.2. Точки А и В закорачиваются и находится ток короткого замыкания. Внутреннее сопротивление эквивалентного источника вычисляется как отношение ЭДС, найденного в п. 1 к току короткого замыкания.
Пример вычисления параметров эквивалентной замены
Вычисление эквивалентного напряжения (ЭДС) — напряжение, снимаемое с резистивного делителя напряжения состоящего из сопротивлений <math>R_4, R_3, R_2</math>, так как рассчитывается режим холостого хода, ток через резистор <math>R_1 = 0</math> и падение напряжения на нём нулевое:
- <math>
V_\mathrm{Th}
{R_2 + R_3 \over (R_2 + R_3) + R_4} \cdot V_\mathrm{1}
</math>
- <math>
{1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega \over (1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega) + 2\,\mathrm{k}\Omega} \cdot 15 \,\mathrm{V}
</math>
- <math>
= {1 \over 2} \cdot 15 \, \mathrm{V} = 7.5 \,\mathrm{V}. </math>
Вычисление эквивалентного сопротивления, источник напряжения закорочен:
- <math>
R_\mathrm{Th} = R_1 + \left[ \left( R_2 + R_3 \right) \| R_4 \right] =</math>
- <math>
= 1\,\mathrm{k}\Omega + \left[ \left( 1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega \right) \| 2\,\mathrm{k}\Omega \right] =</math>
- <math>
= 1\,\mathrm{k}\Omega + \left({1 \over ( 1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega )} + {1\over (2\,\mathrm{k}\Omega ) }\right)^{-1} = 2\,\mathrm{k}\Omega. </math>
Здесь символом <math> \|</math> обозначено сопротивление параллельного соединения резисторов <math> R_4</math> и <math> R_2 + R_3. </math>
См. также
Примечания
Литература
- ↑ В русскоязычной литературе иногда встречается некорректная транскрипция фамилии — «Тевенин»
- ↑ H. Helmholtz, Über einige Gesetze der Vertheilung elektrischer Ströme in körperlichen Leitern mit Anwendung auf die thierisch-elektrischen Versuche Шаблон:Wayback, Ann. der Physik und Chemie, Bd. 89, no. 6, 1853, S. 211—233
- ↑ L. Thévenin, Extension de la loi d’Ohm aux circuits électromoteurs complexes, Annales Télégraphiques (3eme série), vol. 10, 1883, pp. 222—224.; L. Thévenin, Sur un nouveau théorème d’électricité dynamique, Comptes rendus, vol. 97, 1883, pp. 159—161.
- ↑ D.H. Johnson, Equivalent circuit concept: the voltage-source equivalent Шаблон:Wayback, Proceedings of the IEEE, vol. 91, no. 4, 2003, pp. 636—640.
