Рассмотрим произвольный треугольник <math>ABC</math> с точкой <math>P_1</math> на стороне <math>BC</math>. Последовательность точек и параллельных прямых строится следующим образом: параллельная стороне <math>AC</math> прямая через точку <math>P_1</math> пересекает сторону <math>AB</math> в точке <math>P_2</math>, а параллельная стороне <math>BC</math> прямая, проходящая через точку <math>P_2</math>, пересекает сторону<math>AC</math> в точке <math>P_3</math>. Продолжим аналогичное построение. Параллельная стороне <math>AB</math> прямая через точку <math>P_3</math> пересекает сторону <math>BC</math> в точке <math>P_4</math>, а параллельная стороне <math>AC</math> прямая через точку <math>P_4</math> пересекает сторону <math>AB</math> в точке <math>P_5</math>. Наконец, параллельная стороне <math>BC</math> прямая через точку <math>P_5</math> пересекает сторону <math>AC</math> в точке <math>P_6</math>, а параллельная стороне <math>AB</math> прямая через точку <math>P_6</math> пересекает сторону <math>BC</math> в точке <math>P_7</math>. Теорема Томсена утверждает, что точки <math>P_7</math> и <math>P_1</math> совпадают, поэтому построение всегда приводит к замкнутому пути <math>P_1P_2P_3P_4P_5P_6P_1</math>.
Доказательство
Наличие в условии теоремы большого числа различных пар параллельных прямых, пересекающих стороны треугольника, даёт возможность многократного использования теоремы Фалеса о пропорциональных отрезках, из которой следуют соотношения:
<math> P_5 P_6 \parallel BC \Longrightarrow \dfrac{AP_6}{AC} = \dfrac{AP_5}{AB}, </math>
<math> P_4 P_5 \parallel CA \Longrightarrow \dfrac{AP_5}{AB} = \dfrac{CP_4}{CB}, </math>
<math> P_3 P_4 \parallel AB \Longrightarrow \dfrac{CP_4}{CB} = \dfrac{CP_3}{CA}, </math>
<math> P_2 P_3 \parallel BC \Longrightarrow \dfrac{CP_3}{CA} = \dfrac{BP_2}{BA}, </math>
<math> P_1 P_2 \parallel CA \Longrightarrow \dfrac{BP_2}{BA} = \dfrac{BP_1}{BC}. </math>
Таким образом, <math>\dfrac{AP_6}{AC} = \dfrac{BP_1}{BC}</math>. Отсюда, по теореме, обратной к теореме Фалеса, получаем, что <math> P_6 P_1 \parallel AB </math>. Но по условию <math> P_6 P_7 \parallel AB </math>. Поэтому <math>P_1 = P_7</math>.
