Русская Википедия:Теорема Уитни о вложении
Теорема Уитни о вложении — утверждение дифференциальной топологии, согласно которому произвольное гладкое <math>m</math>-мерное многообразие со счётной базой допускает гладкое вложение в <math>2m</math>-мерное евклидово пространство. Установлено Хасслером Уитни в 1938 году.
Этот результат оптимален, например, если <math>m</math> — степень двойки, то <math>m</math>-мерное проективное пространство невозможно вложить в <math>(2m-1)</math>-мерное евклидово пространство.
Схема доказательства
Случаи <math>m=1</math> и <math>m=2</math> устанавливаются напрямую.
Для доказательства случая <math>m\geqslant 3</math> используется факт, что гладкое отображение общего положения <math>f\colon M\to\R^{2m}</math> является погружением с конечным количеством точек трансверсального самопересечения.
Избавиться от этих точек самопересечения можно, несколько раз применив трюк Уитни. Он состоит в следующем. Возьмем точки <math>p,q\in \mathbb{R} ^{2m}</math> самопересечения отображения <math>f</math>, имеющие разные знаки. Возьмем точки <math> x_{p},y_{p},x_{q},y_{q}\in M</math>, для которых <math>f(x_{p})=f(y_{p})=p</math> и <math>f(x_{q})=f(y_{q})=q</math>. Соединим <math>x_{p}</math> и <math>x_{q}</math> гладкой кривой <math>x\subset M</math>. Соединим <math>y_{p}</math> и <math>y_{q}</math> гладкой кривой <math>y\subset M</math>. Тогда <math>f(x\cup y)</math> есть замкнутая кривая в <math>\mathbb {R} ^{2m}</math>. Далее построим отображение <math>h\colon D^2\to\R^{2m}</math> с границей <math>h(\partial D^2)=f(x\cup y)</math>. В общем положении, <math>h</math> является вложением и <math>h(D^2)\cap f(M)=h(\partial D^2)</math> (как раз здесь используется то, что <math>m\geqslant 3</math>). Тогда можно изотопировать <math>f</math> в маленькой окрестности диска <math>h(D^{2})</math> так, чтобы эта пара точек самопересечения исчезла. В последнее утверждение легко поверить, представив картинку для <math>m=1</math> (в которой свойства диска оказались выполнены случайно, а не по общему положению). Аккуратное доказательство приведено в пункте 22.1 книги Прасолова [1].
Приведем набросок другого способа избавиться от точек самопересечения отображения общего положения <math>f\colon M\to\R^{2m}</math>. Он основан на важной идее поглощения. (Иногда данное применение этой другой идеи ошибочно называют трюком Уитни.) Возьмем точку <math>p\in\R^{2m}</math> самопересечения отображения <math>f</math>. Возьмем точки <math>x,y\in M</math>, для которых <math>f(x)=f(y)=p</math>. Соединим <math>x</math> и <math>y</math> гладкой кривой <math>l\subset M</math>. Тогда <math>f(l)</math> есть замкнутая кривая в <math>\R^{2m}</math>. Далее построим отображение <math>h\colon D^2\to\R^{2m}</math> с границей <math>h(\partial D^2)=f(l)</math>. В общем положении, <math>h</math> является вложением и <math>h(D^2)\cap f(M)=h(\partial D^2)</math> (как раз здесь используется то, что <math>m\geqslant 3</math>). Теперь можно изотопировать <math>f</math> в маленькой окрестности диска <math>h(D^{2})</math> так, чтобы эта точка самопересечения исчезла. См. детали и обобщения в книге Рурке и Сандерсона [2] и параграфе 8 обзора Скопенкова [3]. Это рассуждение обычно проводят в кусочно-линейной категории. В гладкой же категории (как здесь) для последней деформации нужно использовать теорему Хефлигера о незаузленности сфер (см. [1]).
Вариации и обобщения
Пусть <math>M</math> есть гладкое <math>m</math>-мерное многообразие, <math>m>1</math>.
- Если <math>m</math> не является степенью двойки, тогда существует вложение <math>M</math> в <math>\R^{2m-1}</math>
- <math>M</math> может быть погружено в <math>\R^{2m-1}</math>
- Более того <math>M</math> может быть погружено в <math>\R^{2m-a}</math>, где <math>a</math> есть число единиц в двоичном представлении <math>m</math>.
- Последний результат оптимален, для любого <math>m</math> можно построить <math>m</math>-мерное многообразие (можно взять произведение вещественных проективных пространств), которое невозможно погрузить в <math>\R^{2m-a-1}</math>.
- Более того <math>M</math> может быть погружено в <math>\R^{2m-a}</math>, где <math>a</math> есть число единиц в двоичном представлении <math>m</math>.
Примечания
Литература
Оревков С.Ю. Физическое доказательство теоремы Уитни о плоских кривых// Сборник "Математическое Просвещение". Третья серия. 1997. Выпуск 1 . С. 96-102
- ↑ В. В. Прасолов, Элементы теории гомологий Шаблон:Wayback
- ↑ C.P. Rourke, B.J. Sanderson, Introduction into piecewise-linear topology, Springer, 1972.
- ↑ Шаблон:Citation
- ↑ Шаблон:Citation Шаблон:Wayback
- ↑ Шаблон:Cite web
