Русская Википедия:Теорема Фалеса о пропорциональных отрезках
Теорема Фалеса — теорема планиметрии о наборе параллельных секущих к паре прямых.
Формулировки
Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных между собой отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.
- Более общая формулировка, также называемая теоремой о пропорциональных отрезках
Параллельные секущие образуют на прямых пропорциональные отрезки:
- <math>
\frac{A_1A_2}{B_1B_2}=\frac{A_2A_3}{B_2B_3}=\frac{A_1A_3}{B_1B_3}. </math>
Замечания
В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Также не важно, где находятся отрезки на прямых.
Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о пропорциональных отрезках, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1.
История
Эта теорема приписывается греческому математику и философу Фалесу Милетскому. По легенде, Фалес Милетский рассчитывал высоту пирамиды Хеопса, измеряя длину её тени на земле и длину тени палки известной высоты. Самое раннее из известных письменных доказательств этой теоремы дано в «Началах» Евклида (предложение 2 книги VI).
Вариации и обобщения
Обратная теорема
Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины (часто в школьной литературе используется такая формулировка), то обратная теорема также окажется верной. Для пересекающихся секущих она формулируется так: Шаблон:Рамка Если прямые, пересекающие две другие прямые (параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны. Шаблон:Конец рамки
Таким образом (см. рис.) из того, что <math>\frac{CB_1}{CA_1}=\frac{B_1B_2}{A_1A_2}=\ldots</math>, следует, что <math>A_1B_1||A_2B_2||\ldots</math>.
Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обеих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (контрпример — трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований).
Этой теоремой пользуются в навигации: столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется направление с одного судна на другое.
Лемма Соллертинского
Следующее утверждение, двойственно к лемме Соллертинского: Шаблон:Рамка Пусть <math>f</math> — проективное соответствие между точками прямой <math>l</math> и прямой <math>m</math>. Тогда множество прямых <math>Xf(X)</math> будет множеством касательных к некоторому коническому сечению (возможно, вырожденному). Шаблон:Конец рамки
В случае теоремы Фалеса коникой будет бесконечно удалённая точка, соответствующая направлению параллельных прямых.
Это утверждение, в свою очередь, является предельным случаем следующего утверждения: Шаблон:Рамка Пусть <math>f</math> — проективное преобразование коники. Тогда огибающей множества прямых <math>Xf(X)</math> будет коника (возможно, вырожденная). Шаблон:Конец рамки
В культуре
- Аргентинская комедийная музыкальная группа Шаблон:Нп5 представила песню, посвящённую теореме[1];
- Ёшикагэ Кира из манги JoJo’s Bizarre Adventure использовал теорему посреди боя, дабы вычислить расстояние до цели.
См. также
Примечания
Литература
- Геометрия по Киселёву, § 188.
