Русская Википедия:Теорема Фату

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Предположим, что у нас есть функция <math>f</math>, аналитическая в единичном круге <math>\Delta=\{z:|z|<1\}</math>. В определенных случаях необходимо установить условия, при которых она может быть аналитически продолжена на единичную окружность <math>\partial\Delta</math>.

Для этого применяется следующий метод — изучение поведения функции на окружностях вида <math>{\partial\Delta}_r=\{z:|z|=r<1\}</math>. Для этого введем вспомогательную функцию <math>f_r(e^{i\varphi})=f(re^{i\varphi})</math>. Видно, что поведение функции <math>f</math> на <math>\partial\Delta</math> зависит от поведения семейства функций <math>\{f_r\}</math> при <math>r\to 1</math>. Пользуясь терминологией функционального анализа, теперь можно сформулировать саму теорему:

Теорема

Пусть <math>f</math> аналитична в <math>\Delta</math> и для неё конечна норма Харди:

<math>\lVert f\rVert_{H^p}=\sup_{0<r<1}\lVert f_r\rVert_{L^p(\partial\Delta)}<\infty</math>

Тогда будет иметь место поточечная сходимость почти всюду семейства функций <math>\{f_r\}</math> к некоторой функции <math>f_1\in L^p(\partial\Delta)</math>.