Русская Википедия:Теорема Фенхеля о повороте кривой

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Фенхеля утверждает, что вариация поворота любой замкнутой кривой не меньше <math>2{\cdot}\pi</math> и равенство достигается только в случае выпуклой плоской кривой. В частности, средняя кривизна замкнутой кривой длины <math>\ell</math> не может быть меньше <math>2{\cdot}\pi/\ell</math>.

Теорема доказана Вернером Фенхелем.

О доказательстве

Обычно доказательство строится на утверждении, что сферическая кривая длины меньше чем <math>2{\cdot}\pi</math> лежит в открытой полусфере. Это утверждение можно доказать например применением формулы Крофтона, но известны и более элементарные доказательства.

Остаётся заметить что кривая образованная единичными касательными векторами (касательная индикатриса) к исходной кривой не может лежать в открытой полусфере. Значит её длина не меньше <math>2{\cdot}\pi</math>, длина же этой кривой совпадает с интегралом кривизны.

Вариации и обобщения

• Лемма Решетняка о хорде. Если регулярная гладкая <math>\gamma\colon[a,b]\to \mathbb{R}^n</math> подходит к своей хорде <math>[\gamma(a),\gamma(b)]</math> под углами <math>\alpha</math> и <math>\beta</math>, то поворот кривой <math>\gamma</math> хотя бы <math>\alpha+\beta</math>.
  • Это утверждение легко следует из теоремы Фенхеля, но зачастую его удобней использовать. Например сама теорема Фенхеля следует если применить лемму к разбиению замкнутой кривой на две дуги.

• Теорема Фари — Милнора

• Теорема о повороте плоской кривой

Литература

• Шаблон:Книга