Русская Википедия:Теорема Ферма о прямоугольном треугольнике

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Теорема Ферма о прямоугольном треугольнике – это доказательство несуществования в теории чисел, единственное полное доказательство, оставленное Пьером Ферма[1]. Теорема имеет несколько эквивалентных формулировок:

Немедленным следствием последнего из приведённых утверждений является верность великой теоремы Ферма для показателя <math>n=4</math>.

Формулировка

Квадраты арифметических прогрессий

В 1225 итальянскому математику Фибоначчи предложили найти способ построения троек квадратов, которые находятся на одинаковом расстоянии друг от друга, образуя арифметическую прогрессию[2]. Один из способов описания решения Фибоначчи – представить эти числа как разность катетов, гипотенузы и суммы катетов пифагоровой тройки, а шаг прогрессии тогда будет равен учетверённой площади этого треугольника[3]. В более поздней работе об этой проблеме, опубликованной в Шаблон:Не переведено 5, Фибоначчи заметил, что шаг арифметической прогрессии квадратов сам по себе не может быть квадратом, но не представил удовлетворительного доказательства этого факта[4][5].

Если бы три квадрата <math>a^2</math>, <math>b^2</math> и <math>c^2</math> образовали арифметическую прогрессию, у которой шаг является также квадратом <math>d^2</math>, то эти числа удовлетворяли бы диофантовым уравнениям

<math>a^2 + d^2 = b^2</math> и <math>b^2 + d^2 = c^2</math>.

В этом случае, по теореме Пифагора, они образовали бы два прямоугольных треугольника с целочисленными сторонами, в котором пара <math>(d,b)</math> были бы катетом и гипотенузой меньшего треугольника и та же самая пара была бы катетами большего треугольника. Но если (как показал Фибоначчи) не существует квадратного шага в арифметической последовательности квадратов, то не может существовать двух прямоугольных треугольников с целыми сторонами, у которых две совпадающие стороны связаны таким образом[6].

Площади прямоугольных треугольников

Поскольку шаг прогрессии квадратов равен четырём площадям пифагорова треугольника, а умножение на четыре не меняет, является ли число квадратом, существование квадратного шага в арифметической последовательности квадратов эквивалентно существованию пифагорова треугольника с площадью, равной квадрату целого числа. Это тот вариант, который рассматривал Ферма в своём доказательстве и в котором он показал, что таких треугольников не существует[1]. На эту задачу Ферма натолкнул не Фибоначчи, а чтение книги Диофанта, изданной Клодом Гаспаром Баше[1]. Эта книга описывает различные Шаблон:Не переведено 5, площадь которых связана с квадратами, но не предполагается, что является квадратами[7].

Преобразованием уравнений для двух пифагоровых треугольниках выше, а затем путём их перемножения, можем получить диофантово уравнение

<math>b^4 - d^4 = (b^2-d^2)(b^2+d^2) = a^2 c^2</math>

которое можно упростить до

<math>b^4 - d^4 = e^2.</math>

И обратно, любое решение этого уравнения можно разложить так, что получим квадратный шаг в арифметической последовательности квадратов. Таким образом, разрешимость этого уравнения эквивалентна существованию квадратного шага в арифметической последовательности квадратов. Но если бы великая теорема Ферма не была бы верна для экспоненты <math>n=4</math>, то любой контрпример был бы теми самыми тремя квадратами, которые удовлетворяют уравнению. Таким образом, из доказательства Ферма, что не существует пифагорова треугольника с площадью, равной квадрату целого числа, вытекает, что уравнение не имеет решений, а потому (для этого случая) великая теорема Ферма верна[7].

Ещё одна формулировка той же проблемы использует конгруэнтные числа, числа, являющиеся площадями прямоугольных треугольников с рациональными сторонами. Умножая обе стороны на общий знаменатель, можно любое конгруэнтное число преобразовать в площадь пифагорова треугольника, откуда следует, что конгруэнтные числа – это в точности числа, получаемые умножением шага в арифметической последовательности квадратов на квадрат рационального числа. Таким образом, не существует квадратного шага в арифметической последовательности квадратов тогда и только тогда, когда число 1 не является конгруэнтным[8][9]. Эквивалентная формулировка: невозможно, чтобы квадрат (геометрическая фигура) и прямоугольный треугольник имели равную площадь и все стороны попарно соизмеримы (величины соизмеримы, если частное этих величин является рациональным числом)[5].

Эллиптическая кривая

Ещё одна эквивалентная формулировка теоремы Ферма использует эллиптическую кривую, состоящую из точек, декартовы координаты <math>(x,y)</math> которых удовлетворяют уравнению

<math>y^2 = x(x+1)(x-1).</math>

Это уравнение имеет очевидные решения (0,0), (1,0) и (−1,0). Теорема Ферма эквивалентна утверждению, что только у этих точек кривой обе координаты рациональны[9][10].

Доказательство Ферма

В течение жизни Ферма предлагал некоторым другим математикам доказать несуществование пифагорова треугольника с площадью, являющейся квадратом, но сам доказательство не опубликовал. Однако он записал доказательство на полях изданной Клодом Баше «Арифметики» Диофанта, которое вскоре обнаружил и опубликовал посмертно его сын[1][5].

Доказательство Ферма использует метод бесконечного спуска. Он показал, что из любого экземпляра пифагорова треугольника с квадратной площадью можно получить такой же экземпляр с меньшей площадью. Поскольку пифагоровы треугольники имеют положительную целочисленную площадь, а бесконечной убывающей последовательности положительных целых чисел не существует, не может существовать и пифагоровых треугольников с площадью, являющейся квадратом целого числа[1][5].

Предположим, что <math>x</math>, <math>y</math> и <math>z</math> являются целыми сторонами прямоугольного треугольника с площадью, являющейся квадратом целого числа. После деления на общие множители мы можем считать треугольник простым[5], а из известных формул для простых пифагоровых треугольников, можно полагать <math>x=2pq</math>, <math>y=p^2-q^2</math> и <math>z=p^2+q^2</math>, в результате чего задача превращается в нахождение взаимно простых целых чисел <math>p</math> и <math>q</math> (одно из которых чётно), таких, что <math>pq(p^2-q^2)</math> является квадратом. Четыре линейных множителя <math>p</math>, <math>q</math>, <math>p+q</math> и <math>p-q</math> взаимно просты, а потому сами должны быть квадратами. Пусть <math>p+q=r^2</math> и <math>p-q=s^2</math>. Важно заметить, что и <math>r</math>, и <math>s</math> должны быть нечётными, поскольку только одно из чисел <math>p</math> или <math>q</math> чётно, а другое нечётно. Таким образом, и <math>(r-s)</math>, и <math>(r+s)</math> чётны, и одно из них делится на 4. Из этих двух чисел Ферма получает два других числа, <math>u=(r-s)/2</math> и <math>v=(r+s)/2</math>, одно из которых чётно. Поскольку <math>u^2+v^2=p</math> является квадратом, <math>u</math> и <math>v</math> являются катетами другого простого пифагорова треугольника, площадь которого равна <math>(uv)/2=q/4</math>. Поскольку <math>q</math> само является квадратом, и поскольку <math>uv</math> чётно, <math>q/4</math> является квадратом. Таким образом, любой пифагоров треугольник с площадью, равной квадрату целого числа, приводит к меньшему пифагорову треугольнику с квадратной площадью, что завершает доказательство[1][7][5].

Ссылки

Шаблон:Reflist

Внешние ссылки

Шаблон:Rq

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 Шаблон:Книга
  2. ↑ Шаблон:Книга
  3. ↑ Шаблон:Книга
  4. ↑ Шаблон:Книга
  5. ↑ 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 Шаблон:Книга
  6. ↑ Шаблон:Статья
  7. ↑ 7,0 7,1 7,2 Шаблон:Книга
  8. ↑ Шаблон:Статья
  9. ↑ 9,0 9,1 Шаблон:Книга
  10. ↑ Шаблон:Книга
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Теорема_Ферма_о_прямоугольном_треугольнике&oldid=10920075