Русская Википедия:Теорема Фихтенгольца

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Фихтенгольца — теорема об абсолютной непрерывности суперпозиции двух функций действительного переменного.

Формулировка

Если функция <math>f(x)</math> абсолютно непрерывна на отрезке <math>[a, b]</math> и <math>F(y)</math> абсолютно непрерывна на отрезке, содержащем все значения <math>f(x)</math>, то для того, чтобы суперпозиция <math>F[f(x)]</math> была абсолютно непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы она была функцией с ограниченной вариацией.

Функция с ограниченной вариацией

Пусть функция <math>f(x)</math> определена и конечна на отрезке <math>[a, b]</math>. Разобъём отрезок на части точками <math>a=x_0 < x_1 < x_2 < ... < x_{n-1} < x_n = b</math>. Составим для данного разбиения сумму <math>V = \sum_{k=0}^{n-1} |f(x_{k+1})-f(x_k)|</math>. Если точная верхняя грань множества таких сумм по всем возможным разбиениям конечна, то её называют полной вариацией функции <math>f(x)</math> на отрезке <math>[a, b]</math> и обозначают так: <math>\bigvee_a^b(f)=sup\sum_{k=0}^{n-1} |f(x_{k+1})-f(x_k)|</math>, а функцию <math>f(x)</math> называют функций с ограниченной вариацией на этом отрезке.

Литература

• Шаблон:Книга