Русская Википедия:Теорема Фока — Крылова

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Фока — Крылова утверждает, что закон распада квазистационарного состояния полностью определяется энергетическим спектром начального состояния.

Формулировка

Теорема Фока — Крылова определяет вероятность распада начального состояния квантовой системы следующим образом:

<math> L(t) = |p(t)|^2 = \left|\int\exp\left(-\frac{i}{\hbar}Et\right) \,dW(E)\right|^2, </math>

где

<math> dW(E) = w(E) \,dE </math> — спектр энергии начального состояния.

Доказательство

Пусть система описывается оператором <math> \hat H(x) </math>, который не зависит от времени. Тогда уравнение на собственные числа и собственные функции запишется следующем образом:

• для дискретного спектра:

  <math> \hat H(x) \psi_n(x) = E_n \psi_n(x), </math>

• для сплошного спектра:

  <math> \hat H(x) \psi(E,x) = E \psi (E, x). </math>

Пусть в момент времени <math> t = 0 </math> система находится в состоянии <math> \psi(x, 0) </math>, а в момент времени t она будет находиться в состоянии <math> \psi(x, t) </math>. Эволюция системы будет происходить согласно уравнению Шрёдингера:

<math> i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(x, t) = \bar H(x) \psi(x, t). </math>

Решение этого уравнения имеет вид

<math> \psi(x, t) = \sum_n C_n \exp \left(-\frac{i}{\hbar} E_n t\right) \psi_n(x) + \int C(E) \exp \left(-\frac{i}{\hbar}E t\right) \psi (E, x) \,dE. </math>

Коэффициенты <math> C_n </math> и <math> C(E) </math> определяются начальными условиями:

<math> C_n = \int \psi_n^*(x) \psi(0,x) \,dx, \qquad C(E) = \int \psi^*(E, x) \psi(0, x) \,dE. </math>

Вероятность нахождения системы в начальном состоянии выражается следующим образом:

<math> L(t) = |p(t)|^2 = \left| \int \psi^*(x, 0) \psi(x, t) \,dx \right|^2 = \left|\int \exp\left(-\frac{i}{\hbar}Et\right) w(E) \,dE\right|^2, </math>

где <math> w(E) = \sum_n |C_n|^2 \delta(E - E_n) + |C(E)|^2 </math> — спектр начального состояния.

Литература

• Шаблон:КнигаШаблон:Недоступная ссылка