Русская Википедия:Теорема Хана — Банаха
Теоре́мой Ха́на — Ба́наха называют несколько связанных между собой классических результатов функционального анализа, в частности
- Теорему о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты;
- Теорему о разделении выпуклых множеств;
- Теорему о непрерывном или положительном продолжении линейного функционала.
Теорема о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты
Легко показать, что одной лишь положительной однородности (такая ошибочная формулировка приведена в Математической энциклопедии) или субаддитивности функционала <math>p</math> для справедливости этой теоремы недостаточно.
Контрпример для положительно однородного функционала: <math>X=\mathbb R</math>, <math>Y=\{0\}</math>, <math>p(x):=-|x|, x\in X, f(0)=0</math>.
Широко известны различные варианты теоремы о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты для линейных пространств над полем комплексных чисел, когда <math>p</math> — полунорма.
Теорема о непрерывном продолжении линейного функционала
Из этих теорем вытекает много важных следствий. Одно из них:
Доказательство
Сначала докажем, что существует продолжение в одном направлении. Пусть <math>z\in X\setminus Y</math>. Рассмотрим линейное пространство вида:
- <math>Y_z\doteq\left\{y+az, \ y\in Y,\ a\in \R\right\}.</math>
Продолжение <math>f</math> на <math>Y_z</math> запишем:
- <math>\tilde f(y+az)\doteq f(y)+a \tilde f(z),</math>
где <math>\tilde f(z)</math> — вещественное число, которое необходимо определить. Для произвольных <math>y_1, y_2\in Y</math> и <math>a,b>0</math> выполняется:
- <math>f(ay_1+by_2)=(a+b)f\left(\frac{a}{a+b}y_1 + \frac{b}{a+b}y_2\right)\leqslant</math>
- <math>{} \leqslant (a+b)p \left(\frac{a}{a+b}y_1 + \frac{b}{a+b}y_2\right) = </math>
- <math>{}= (a+b)p \left(\frac{a}{a+b}(y_1-bz) + \frac{b}{a+b}(y_2+az)\right) \leqslant </math>
- <math> \leqslant a p(y_1-bz) + b p(y_2+az).</math>
Отсюда
- <math>a \left(f(y_1) - p(y_1-bz)\right) \leqslant -b\left(f(y_2)-p(y_2+az)\right)</math>
Как следствие
- <math>\frac{1}{b}\left(-p(y_1-bz)+f(y_1)\right) \leqslant
\frac{1}{a}\left(p(y_2+az)-f(y_2)\right)\quad \forall \ y_1,y_2\in Y, \quad \forall a,b>0. </math>
Определим <math>c\in \R</math> так
- <math>\sup_{a>0,y\in Y}\left\{ \frac{1}{a} \left[ -p(y-az)+f(y)\right]\right\} \leqslant c \leqslant
\inf_{a>0,y\in Y}\left\{ \frac{1}{a} \left[ p(y+az)-f(y)\right]\right\}. </math>
Выполняется равенство
- <math>ac \leqslant p(y+az) -f(y) \quad \forall \ y\in Y, \quad \forall \ a\in \R</math>.
Определим
- <math>\tilde f(z)=c.</math>
Для всех <math>y\in Y</math> и произвольных <math>a\in \R</math> выполняется неравенство:
- <math>\tilde f(y+az)=f(y)+ac \leqslant p(y+az),</math>
поэтому
- <math>\tilde f(x)\leqslant p(x)\quad \forall\ x\in Y_z.</math>
Для завершения доказательства используем лемму Цорна. Пусть <math>E</math> является множеством всех возможных продолжений, удовлетворяющих условия теоремы. Данное множество является частично упорядоченным из-за включения областей определения, и каждое линейно упорядоченное подмножество имеет супремум (объединение областей определения). Поэтому по лемме Цорна данное множество имеет максимальный элемент. Данный элемент равен всему пространству, иначе в противном случае можно осуществить дальнейшее продолжение воспользовавшись только определенной конструкцией.
См. также
Литература
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 544 с.
- Пугачев В. С. Лекции по функциональному анализу. М.: Изд-во МАИ, 1996. 744 с.
- Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Том 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 358 c.
- Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.
- Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.
Примечания
