Русская Википедия:Теорема Харди — Рамануджана

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

В математике теорема Харди — Рамануджана утверждает, что скорость роста числа <math>\omega(n)</math> различных простых делителей числа <math>n</math> определяется функцией повторного логарифма — <math>\log(\log(n))</math>, а «разброс» числа делителей — квадратным корнем этой функции.

Теорема

Пусть действительная функция <math>f(n)</math> такова, что <math> \lim_{n \to \infty} f(n) =\infty </math>, и пусть <math>g(x)</math> — число натуральных чисел <math>n<x</math>, для которых выполнено следующее неравенство

<math>|\omega(n)-\log(\log(n))|<f(n)\sqrt{\log(\log(n))}</math>

или более традиционно

<math>|\omega(n)-\log(\log(n))|<{(\log(\log(n)))}^{\frac12 +\varepsilon}</math> , где <math>\varepsilon >0 </math>

Тогда

<math>\lim_{x \to \infty} \frac{g(x)}{x} = 1 </math>

Простое доказательство этой теоремы нашел Пал Туран.

Обобщения и усиления

Такой же результат верен и для числа всех простых сомножителей в разложении числа <math>n </math>.

Эта теорема обобщается теоремой Эрдёша — Каца, в которой доказывается, что распределение различных простых делителей натуральных чисел является нормальным со «средним» и «дисперсией» равными <math>\log(\log(n))</math>. Таким образом, имеется некоторая связь между распределением числа простых делителей и предельными законами теории вероятностей — центральной предельной теоремой и законом повторного логарифма.