Русская Википедия:Теорема Хартогса

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Хартогса — утверждение о достаточных условиях аналитичности функции нескольких комплексных переменных. В случае нескольких комплексных переменных достаточным условием аналитичности является аналитичность по каждому переменному. Для функций действительных переменных это неверно: функция <math>f(x,y) = \frac{xy}{(x^{2}+y^{2})}, f(0,0)=0</math> бесконечно дифференцируема по <math>x</math> (или <math>y</math>) когда <math>y</math> (или <math>x</math>) является фиксированным, но <math>f</math> даже не является непрерывной в начале координат.

Формулировка

Если комплекснозначная функция <math>F</math> определена в открытом множестве <math>\Omega</math> <math>n</math>-мерного комплексного пространства <math>\mathbb{C}^{n}</math> и аналитическая по каждому переменному <math>z_{j}</math>, когда другие переменные фиксированы, то функция <math>F</math> является аналитической в <math>\Omega</math>.

История

При дополнительном предположении непрерывности, это утверждение иногда называется леммой Осгуда, её доказал Вильям Осгуд

Литература

• Шаблон:Книга