Русская Википедия:Теорема Хеллингера — Тёплица

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Хеллингера — Тёплица — результат функционального анализа, устанавливающий ограниченность симметрического оператора в гильбертовом пространстве.

Формулировка

Пусть <math>H</math> — гильбертово пространство. Если для линейного оператора <math>A:\,H\to H</math> существует линейный оператор <math>B:\,H\to H</math>, удовлетворяющий условию <math>(Ax,y)=(x,By)\; \forall x,y\in H</math>, то оператор <math>A</math> является ограниченным.

В частности, ограниченным является любой симметрический оператор, заданный на всем пространстве, то есть линейный оператор, удовлетворяющий условию <math>(Ax,y)=(x,Ay)\; \forall x,y\in H</math>.

Замечания

Существенным условием теоремы является условие определённости оператора на всём гильбертовом пространстве.

Следствия

• Всякий симметрический оператор, определённый на всём гильбертовом пространстве, является самосопряжённым.
• Самосопряжённый неограниченный оператор не может быть определён на всём гильбертовом пространстве.