Русская Википедия:Теорема Хольмгрена

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Хольмгрена — теорема о единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения с частными производными в случае аналитичности коэффициентов дифференциального оператора.

Формулировка

Рассмотрим пространство <math>R^{n+1}</math>. Обозначим <math>D_{\epsilon}</math> область пространства <math>R^{n+1} (x, t)</math> такую, что <math>|x|^2+|t|<\epsilon</math>. Обозначим оператор частного дифференцирования <math>L \equiv \left ( \frac{d}{dt} \right )^{m} + \sum_{|\nu|+j \leqslant m, j \leqslant m - 1} a_{\nu, j}(x, t) \left ( \frac{d}{dx} \right )^{\nu} \left ( \frac{d}{dt} \right )^{j}</math>. Пусть все коэффициенты <math>a_{\nu , j}(x,t)</math> оператора <math>L</math> аналитичны в окрестности <math>U</math> начала координат. Тогда существует такое <math>\epsilon_{0} > 0</math>, что если <math>0 < \epsilon < \epsilon_{0}</math> и <math>u(x,t) \in \Epsilon^m(D_{\epsilon})</math>, причём <math>Lu=0</math> в <math>D_{\epsilon}</math>, <math>\left ( \frac{d}{dt} \right )^{j}u(x,0)=0</math>, <math>(j=0, 1, ..., m-1)</math>, <math>x \in D_{\epsilon}</math>, то <math>u(x,t) \equiv 0</math> в <math>D_{\epsilon}</math>.

См. также

• Теорема Коши — Ковалевской

Литература

• C. Мизохата Теория уравнений с частными производными, М., Мир, 1977, 504 стр.