Русская Википедия:Теорема Чевы
Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску
Теорема Чевы — классическая теорема аффинной геометрии и геометрии треугольника. Установлена в 1678 году итальянским инженером Джованни Чевой.
Формулировка
Определим чевиану как отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне.
Три чевианы <math>AA', BB', CC'</math> треугольника <math>ABC</math> проходят через одну точку тогда и только тогда, когда:
- <math>\frac{BA'\cdot CB'\cdot AC'}{A'C\cdot B'A\cdot C'B}=1</math>
Замечания
Эта теорема является аффинной, то есть она может быть сформулирована с использованием только тех свойств, которые сохраняются при аффинных преобразованиях.
Вариации и обобщения
- Эту теорему можно обобщить на случай, когда точки <math>A', B', C'</math> лежат на продолжениях сторон <math> BC, CA, AB</math>. Для этого надо воспользоваться «отношением направленных отрезков». Оно определено для двух коллинеарных направленных отрезков <math>XY</math> и <math>ZT</math> и обозначается <math>{XY}/{ZT}</math>
- Пусть <math>A', B', C'</math> лежат на прямых <math> BC, CA, AB</math> треугольника <math>ABC</math>. Прямые <math>AA', BB', CC'</math> конкурентны (то есть параллельны или пересекаются в одной точке) тогда и только тогда, когда: <math>\frac{BA'}{A'C}\cdot \frac{CB'}{B'A}\cdot \frac{AC'}{C'B}=1</math>
- Теорема Понселе. Исходную теорему Чевы можно обобщить на случай многоугольника с нечетным числом сторон. Тогда её называют теоремой Понселе. Она звучит так: прямые, соединяющие какую-нибудь точку с вершинами многоугольника, имеющего нечётное число сторон, образуют на противоположных его сторонах такие отрезки, что произведение отрезков, не имеющих общих концов, равно произведению остальных отрезков (см. п. 23, с 35. в [1])
- Тригонометрическая теорема Чевы:
- <math>\frac{\sin\angle BAA'}{\sin\angle A'AC}\cdot\frac{\sin\angle ACC'}{\sin\angle C'CB}\cdot\frac{\sin\angle CBB'}{\sin\angle B'BA}=1.</math>
- При этом углы здесь считаются ориентированными; то есть <math>\angle XYZ</math> есть угол, на который надо повернуть прямую <math>XY</math> против часовой стрелки, чтоб получить прямую <math>YZ</math>.
О доказательствах
Известны доказательства
- методом площадей,
- с помощью геометрии масс,
- двойное применение теоремы Менелая и многие другие.
Сам Чева привёл доказательство с помощью геометрии масс, но существует также и другие доказательства.
См. также
- Двойное отношение
- Отношение направленных отрезков
- Пропорциональные отрезки
- Теорема Ван-Обеля о треугольнике
- Теорема Менелая
- Чевиана
Литература
- Балк М. Б., Болтянский В. Г. Геометрия масс. — М.: Наука, 1987. —(Библиотечка «Квант»)).
- Книга:Коксетер. Грейтцер. Новые встречи с геометрией
- Мякишев А. Г. Элементы геометрии треугольника. Серия: «Библиотека „Математическое просвещение“». М.: МЦНМО, 2002.
- Филипповский Г. Б. Теоремы Чевы, Менелая и Ван-Обеля// Математика. Все для учителя! № 9 (21). сентябрь. 2012. с. 7-19// https://yagubov.su/MATH2/06K/06615Z.pdf
- Книга:Элементарная геометрия. Понарин
- Шаль, Мишель. О сочинении Чевы, под заглавием: De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio (in — 4°, Milan, 1678). // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Т. 2. М., 1883.
- Giovanni Ceva. De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio Milan, 1678
Примечания
- ↑ Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. 2-е изд. М.: Учпедгиз, 1962. 153 с.
