Русская Википедия:Теорема Шварца о второй производной

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Шварца о второй производной устанавливает достаточные условия линейности функции. Используется в теории тригонометрических рядов.

Формулировка

Если функция <math>F(x)</math> непрерывна в некотором интервале <math>(a, b)</math> и <math>\lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) + F(x-h) - 2F(x)}{h^{2}} = 0</math> при всех значениях <math>x</math> в этом интервале, то <math>F(x)</math> есть линейная функция.

Доказательство

Выражение, стоящее слева в условии теоремы, называется обобщенной второй производной функции <math>F(x)</math>. Если <math>F(x)</math> имеет обыкновенную вторую производную, то обобщенная вторая производная равна ей и доказывать нечего. Рассмотрим функцию <math>\phi(x)=F(x)-F(a)-\frac{x-a}{b-a}(F(b)-F(a))</math>. Очевидно, <math>\phi(a)=0</math> и <math>\phi(b)=0</math>. Для доказательства теоремы покажем, что <math>\phi(x)=0</math> при всех значениях <math>x</math>. Предположим, что <math>\phi(x)</math> принимает положительные значения. Пусть <math>\phi(c) > 0</math> в некоторой точке <math>c</math>. Введем функцию <math>\psi(x) = \phi(x) - \frac{1}{2}\epsilon(x-a)(b-x)</math>, где <math>\epsilon</math> - малое положительное число, такое, что <math>\psi(x) > 0</math>. Функция <math>\psi(x)</math> имеет положительную верхнюю грань и достигает её, в силу своей непрерывности, в некоторой точке <math>x = \xi</math>. Очевидно <math>\psi(\xi + h) + \psi(\xi - h) - 2 \psi(\xi) \leqslant 0</math>. Но <math>\frac{\psi(\xi + h) + \psi(\xi - h) - 2 \psi(\xi)}{h^2} = \frac{F(\xi + h) + F(\xi - h) - 2 F(\xi)}{h^2} + \epsilon</math> и при <math>h \rightarrow 0</math> правая часть стремится к <math>\epsilon</math>. Получено противоречие. К подобному же противоречию приводит предположение, что <math>\phi(x)</math> принимает отрицательные значения. Следовательно, <math>\phi(x) = 0</math> при всех значениях <math>x</math> и <math>F(x)</math> есть линейная функция.

Литература

• Е. Титчмарш Теория функций, М., Наука, 1980.