Русская Википедия:Теорема Штейнера (планиметрия)

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Теорема Штейнера (планіметрія).svg

<math>\frac{BM}{CM}\cdot\frac{BN}{CN}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^2.</math>

Теорема Штейнера — классическая теорема геометрии треугольника, обобщение теоремы о биссектрисе. Названа в честь Якоба Штейнера.

Формулировка

Пусть через вершину <math>A</math> треугольника <math>\triangle ABC</math> внутри него проведены две прямые, образующие равные углы со сторонами <math>AB</math> и <math>AC</math> и пересекающие сторону <math>BC</math> в точках <math>M</math> и <math>N</math>. Тогда

<math>\frac{BM}{CM}\cdot\frac{BN}{CN}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^2</math>.

Важный частный случай теоремы

Из теоремы Штейнера, как частный случай, получается теорема о биссектрисе. Действительно, пусть в сформулированной выше теореме точки M и N совпадают, образуя точку D, тогда они являются основанием биссектрисы, опущенной из вершины A на сторону BC. В этом частном случае мы имеем <math>\frac{BD}{CD}\cdot\frac{BD}{CD}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^2</math>. Извлекая квадратный корень из обеих частей, имеем <math>\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}</math>, что и составляет суть теоремы о биссектрисе.

Литература

• Книга:Элементарная геометрия. Понарин

См. также

• Кривая Штейнера
• Теорема Гюйгенса — Штейнера
• Теорема Мардена
• Теорема Штейнера — Лемуса
• Теорема Штейнера — Понселе
• Точка Штейнера
• Треугольник
• Эллипс Штейнера