Русская Википедия:Теорема Штольца
Теорема Штольца — утверждение математического анализа, в некоторых случаях помогающее найти предел последовательности вещественных чисел. Теорема названа в честь опубликовавшего в 1885 году её доказательство австрийского математика Отто Штольца[1]. По своей природе теорема Штольца является дискретным аналогом правила Лопиталя.
Формулировка
Пусть <math>a_n</math> и <math>b_n</math> — две последовательности вещественных чисел, причём <math>b_n</math> положительна, неограничена и строго возрастает (хотя бы начиная с некоторого члена). Тогда, если существует предел
- <math>\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}}</math>,
то существует и предел
- <math>\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}</math>,
причём эти пределы равны.
Доказательство
Ниже приводится доказательство по ФихтенгольцуШаблон:Sfn, другое доказательство приведено в книге Архипова, Садовничего и ЧубариковаШаблон:Sfn.
Допустим сначала, что предел равен конечному числу <math>L</math>, тогда для любого заданного <math>\varepsilon > 0</math> существует такой номер <math>N > 0</math>, что при <math>n > N</math> будет иметь место:
- <math>L - \frac{\varepsilon}{2} < \frac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}} < L + \frac{\varepsilon}{2}</math>.
Значит, для любого <math>n > N</math> все дроби:
- <math>\frac{a_{N+1} - a_N}{b_{N+1} - b_N}, \frac{a_{N+2} - a_{N+1}}{b_{N+2} - b_{N+1}},...,\frac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}}</math>
лежат между этими же границами. Так как знаменатели этих дробей положительны (в силу строго возрастания последовательности <math>b_n</math>), то, по свойству медианты, между теми же границами содержится и дробь:
- <math>\frac{a_n - a_N}{b_n - b_N}</math>,
числитель которой есть сумма числителей написанных выше дробей, а знаменатель — сумма всех знаменателей. Итак, при <math>n > N</math>:
- <math>\left| \frac{a_n - a_N}{b_n - b_N} - L \right| < \frac{\varepsilon}{2}</math>.
Теперь рассмотрим следующее тождество (проверяемое непосредственно):
- <math>\frac{a_n}{b_n} - L = \frac{a_N - L b_N}{b_n} + \left( 1 - \frac{b_N}{b_n} \right) \left( \frac{a_n - a_N}{b_n - b_N} - L \right)</math>,
откуда имеем
- <math>\left| \frac{a_n}{b_n} - L \right| \le \left| \frac{a_N - L b_N}{b_n} \right| + \left| \frac{a_n - a_N}{b_n - b_N} - L \right| </math>.
Второе слагаемое при <math>n > N</math> становится меньше <math>\frac{\varepsilon}{2}</math>, первое слагаемое также станет меньше <math>\frac{\varepsilon}{2}</math>, при <math>n > M</math>, где <math>M</math> — некоторый достаточно большой номер, в силу того, что <math>b_n \to +\infty</math>. Если взять <math>M > N</math>, то при <math>n > M</math> будем иметь
- <math>\left | \frac{a_n}{b_n} - L \right | < \varepsilon</math>,
что и доказывает наше утверждение.
Случай бесконечного предела можно свести к конечному. Пусть, для определённости:
- <math>\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}} = +\infty</math>,
из этого следует, что при достаточно больших <math>n</math>:
- <math>a_n - a_{n-1} > b_n - b_{n-1}</math> и
- <math>\lim\limits_{n \to \infty} a_n = +\infty</math>,
причём последовательность <math>a_n</math> строго возрастает (начиная с определённого номера). В этом случае, доказанную часть теоремы можно применить к обратному отношению <math>b_n \over a_n</math>:
- <math>\lim\limits_{n \to \infty} \frac{b_n}{a_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{b_n - b_{n-1}}{a_n - a_{n-1}} = 0</math>,
откуда и следует, что:
- <math>\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = + \infty</math>.
Если предел равен <math>-\infty</math>, то нужно рассмотреть последовательность <math>\{ - a_n \}</math>.
Следствие
Одним из следствий теоремы Штольца является регулярность метода суммирования Чезаро. Это означает, что если последовательность <math>a_n</math> сходится к числу <math>a</math>, то последовательность средних арифметических <math>\frac{a_1 + \dots + a_n}{n}</math> сходится к этому же числу.
Примечания
Литература
