Русская Википедия:Теорема Эйлера о треугольнике

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Файл:Лемма о трезубце вики7.png

Формула Эйлера — теорема планиметрии, связывает расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей и их радиусами.

Теорема названа в честь Леонарда Эйлера, который опубликовал её в 1765 году.[1] Однако тот же результат был получен ранее Шаблон:Не переведено 5 в 1746 году[2].

Формулировка

Расстояние <math>d</math> между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника может быть определено по формуле

<math> d^2 = R^2 - 2Rr.</math>

где <math>R</math> — радиус описанной, <math>r</math> — радиус вписанной окружности.

В 1969 году Георгий Александров дал развернутую формулу:

<math>d^2 = \frac{a\,b\,c\,}{a+b+c}\left [\frac{a\,b\,c\,}{(a+b-c)\,(a-b+c)\,(-a+b+c)}-1 \right ]</math>
где <math>a, b, c</math> — стороны треугольника.

Замечания

  • Приведённую формулу можно переписать следующим образом
    <math>\frac{1}{R-d} + \frac{1}{R+d} = \frac{1}{r}</math>.
или
<math>(R-r)^2=d^2+r^2,</math>
  • Из теоремы следует так называемое неравенство Эйлера
    <math>R \ge 2r</math>.
    • Существует более сильная форма этого неравенства[3]Шаблон:Rp, а именно:
      <math>\frac{R}{r} \geq \frac{abc+a^3+b^3+c^3}{2abc} \geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-1 \geq \frac{2}{3} \left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right) \geq 2,</math>
где <math>a, b, c</math> — стороны треугольника.
  • Для сферического треугольника отношение радиуса описанной окружности к радиусу вписанной может быть меньше 2. Более того, для любого числа между 1 и 2 существует правильный сферический треугольник с отношением радиуса описанной к радиусу вписанной окружности, равным этому числу.

Доказательство

Файл:Вики .png

Пусть <math>O</math> — центр описанной окружности треугольника <math>\Delta ABC</math>, а <math>I</math> — центр вписанной окружности. Если луч <math>AI</math> пересекает описанную окружность в точке <math>L</math>, то <math>L</math> является средней точкой дуги <math>BC</math>. Проведём луч <math>LO</math> и обозначим его точку пересечения с описанной окружностью как <math>M</math>. Тогда <math>LM</math> будет диаметром описанной окружности. Из точки <math>I</math> опустим перпендикуляр <math>ID</math> на <math>AB.</math> Тогда <math>ID = r.</math> Запишем формулу Эйлера немного в другом виде

<math>R^2 - d^2 = 2Rr.</math>

Можно заметить, что слева стоит степень точки <math>I</math> относительно описанной окружности (если быть точным, то минус степень точки). То есть, достаточно доказать равенство <math>LI \cdot IA = 2Rr</math>. По лемме о трезубце <math>LI = LB,</math> значит, достаточно доказать, что <math>LB \cdot IA = 2Rr</math>. Теперь заметим, что <math>2R = LM</math> и <math>r = ID,</math> то есть, требуемое равенство можно переписать в виде <math>LB \cdot IA = LM \cdot ID.</math> Перепишем его ещё немного: <math>LB / LM = ID / IA</math>. Это равенство следует из подобия треугольников <math>\triangle AID</math> и <math>\triangle MLB</math>. В самом деле, углы <math>B</math> и <math>D</math> у этих треугольников прямые, а углы <math>A</math> и <math>M</math> равны, потому что оба опираются на дугу <math>BL</math> (более того, отношение <math>LB / LM = ID / IA</math> равно синусу угла <math>\angle BAL</math>).

Вариации и обобщения

Для центра вневписанной окружности

Для вневписанных окружностей уравнение выглядит похоже:

<math>(R+r_{out})^2=d^2_{out} + r_{out}^2,</math>

где <math>r_{out}</math> — радиус одной из вневписанных окружностей, а <math>d_{out}</math> — расстояние от центра описанной окружности до центра этой вневписанной окружности[4][5][6].

Для многоугольников

Файл:Fuss theorem2.svg
Во вписанно-описанном четырёхугольнике ABCD с центрами вписанной и вписанной окружностей соответственно I и О.
  • Для радиусов <math>R</math> и <math>r</math> соответственно описанной и вписанной окружностей данного вписанно-описанного четырёхугольника (см. рис.) и расстояния <math>d=x</math> между центрами этих окружностей выполняется соотношение:
    <math> \frac{1}{(R+d)^2}+\frac{1}{(R-d)^2}=\frac{1}{r^2}</math>,
или эквивалентно,
<math> d^2= R^2+r^2-r \sqrt {4R^2+r^2}</math>

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Ссылки

Шаблон:Rq Шаблон:ВС

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ 1,0 1,1 Авксентьев, Е. А. Инвариантные меры и теоремы о замыкании типа Понселе Шаблон:Wayback
  2. ↑ Шаблон:Citation. The formula for the distance is near the bottom of p.123.
  3. ↑ Шаблон:Citation Шаблон:Wayback.
  4. ↑ Шаблон:Статья
  5. ↑ Шаблон:Книга
  6. ↑ Шаблон:Статья
  7. ↑ Nicolas Fuss// https://en.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Fuss Шаблон:Wayback
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Теорема_Эйлера_о_треугольнике&oldid=10920143