Русская Википедия:Теорема Эйлера о четырёхугольниках
Теорема Эйлера о четырёхугольниках (также закон Эйлера для четырёхугольников) — теорема планиметрии, названная в честь Леонарда Эйлера (1707—1783 гг.), которая описывает соотношение между сторонами выпуклого четырёхугольника и его диагоналями. Теорема является обобщением тождества параллелограмма, которое, в свою очередь, можно рассматривать как обобщение теоремы Пифагора; поэтому иногда используется название теорема Эйлера — Пифагора.
Теорема и специальные случаи
Для выпуклого четырёхугольника со сторонами <math>a, b, c, d</math> и диагоналями <math>e</math> и <math> f</math>, середины которых соединены отрезком <math>g</math>, выполняется равенство:
- <math display="block">a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+4g^2 </math>
Если четырёхугольник является параллелограммом, то средние точки диагоналей совпадают и соединяющий их отрезок <math>g</math> имеет длину, равную 0. Кроме того, у параллелограмма длины параллельных сторон равны, так что в таком случае теорема Эйлера сводится к формуле:
- <math display="block">2a^2+2b^2=e^2+f^2</math>
каковая называется тождеством параллелограмма.
Если четырёхугольник является прямоугольником, то равенство ещё более упрощается, поскольку теперь две диагонали равны:
- <math display="block">2a^2+2b^2=2e^2</math>
Деление на 2 даёт теорему Эйлера — Пифагора:
- <math display="block">a^2+b^2=e^2</math>
Другими словами: для прямоугольника отношение сторон четырёхугольника и его диагоналей описывается теоремой ПифагораШаблон:Sfn.
Альтернативные формулировки и расширения
Эйлер вывел вышеописанную теорему как следствие другой теоремы, которая, с одной стороны, менее элегантна, так как требует добавления ещё одной точки, но, с другой стороны, даёт большее понимание свойств четырёхугольника.
Для заданного выпуклого четырёхугольника <math>ABCD</math> Эйлер ввёл дополнительную точку <math>E</math>, такую, что <math>ABED</math> образует параллелограмм; тогда выполняется следующее равенство:
- <math display="block">|AB|^2+|BC|^2+|CD|^2+|AD|^2=|AC|^2+|BD|^2+|CE|^2</math>
Расстояние <math>|CE|</math> между дополнительной точкой <math>E</math> и точкой <math>C</math> четырёхугольника, соответствует отрезку, который не являются частью параллелограмма. Длину этого отрезка можно рассматривать как меру отличия рассматриваемого четырёхугольника от параллелограмма, или, другими словами, как меру правильности члена <math>|CE|^2 </math> в исходном равенстве тождества параллелограммаШаблон:Sfn.
Поскольку точка <math>M</math> является серединой отрезка <math>AC</math>, то получаем <math>\tfrac{|AC|}{|AM|}=2</math>. Точка <math>N</math> является серединой отрезка <math>BD</math>, и она также является серединой отрезка <math>AE</math>, поскольку <math>AE</math> и <math>BD</math> являются диагоналями параллелограмма <math>ABED</math>. Отсюда получаем <math>\tfrac{|AE|}{|AN|}=2</math>, и, следовательно, <math>\tfrac{|AC|}{|AM|}=\tfrac{|AE|}{|AN|}</math>. Из теоремы Фалеса (и обратной) следует, что <math>CE</math> и <math>NM</math> параллельны. Тогда <math>|CE|^2=(2|NM|)^2=4|NM|^2</math>, откуда и следует теорема ЭйлераШаблон:Sfn.
Теорему Эйлера можно расширить на множество четырёхугольников, которре включает пересекающиеся и непланарные. Она выполняется для так называемых обобщённых четырёхугольников, которые состоят из четырёх произвольных точек в пространстве <math>\mathbb{R}^n</math>, связанных рёбрами с образованием графа-циклаШаблон:Sfn.
Примечания
Литература
Ссылки
