Русская Википедия:Теорема Энгеля

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Энгеля даёт эквивалентность двух различных определений нильпотентности для алгебр Ли. Названа в честь Фридриха Энгеля.

Формулировка

Конечномерная алгебра Ли <math>\mathfrak{g}</math> является нильпотентной тогда и только тогда, когда для любого <math>X\in \mathfrak{g}</math> оператор <math>\operatorname{ad}_X</math> нильпотентен.

Необходимые определения

Пусть <math>\mathfrak{g}</math> — конечномерная алгебра Ли над произвольным полем k. Если <math>\mathfrak{a}, \mathfrak{b}</math> — подмножества <math>\mathfrak{g}</math>, то <math>[\mathfrak{a}, \mathfrak{b}]</math> обозначает множество всех конечных сумм элементов вида <math>[X,Y],</math> где <math>X \in \mathfrak{a},\; Y \in \mathfrak{b}.</math>

Нижний центральный ряд алгебры Ли определёется рекурсивно:

<math>\mathfrak{g}^0 = \mathfrak{g}, \; \mathfrak{g}^{i+1} = [\mathfrak{g},\mathfrak{g}^{i}]</math> .

Алгебра Ли называется нильпотентной, если <math>\mathfrak{g}^{n} = 0</math> для некоторого числа. Эквивалентно, если ввести обозначения <math> \operatorname{ad}_X (Y) = [X,Y],\ </math> то алгебра Ли будет нильпотентных если для некоторого натурального числа n выполняется

Шаблон:Math

для произвольных <math>X_1, X_2,\ldots, X_{n}, Y \in \mathfrak{g},</math>.