Русская Википедия:Теорема Эрдёша — Каца
Теорема Эрдёша — Каца — утверждение в теории чисел, которое связывает распределение числа разных простых делителей больших чисел с формулами предельных законов теории вероятностей. Этот результат теории чисел, полученный Палом Эрдёшом и Марком Кацем в 1940 году утверждает, что если <math>\omega(n)</math> — число различных простых делителей числа <math>n</math>, то предельное распределение величины
- <math> \frac{\omega(n) - \log\log n}{\sqrt{\log\log n}}</math>
является стандартным нормальным распределением. Это глубокое обобщение теоремы Харди — Рамануджана, которая утверждает, что «среднее» значение <math>\omega(n)</math> равно <math>\log \log n</math>, а «среднее отклонение» не более <math>\sqrt{\log\log n}</math>.
Теорема
Более формально теорема утверждает, что для любых фиксированных <math>a<b</math> выполнено:
- <math>\lim_{x \rightarrow \infty} \frac {1}{x}\left | \left\{ n \leq x : a \le \frac{\omega(n) - \log \log n}{\sqrt{\log \log n}} \le b \right\} \right | = \Phi(a,b) </math>,
где
- <math>\Phi(a,b)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_a^b e^{-t^2/2} \, dt. </math>.
Оригинальное доказательство
В оригинальном доказательстве[1] утверждение о нормальности распределения в первой лемме теоремы основано на том, что функция <math>\omega(n)</math> является аддитивной и может быть представлена как сумма индикаторов делимости на простые числа. Далее, не вводя понятие случайной величины, авторы утверждают, что слагаемые-индикаторы независимы[2]. Затем не вдаваясь в подробности, авторы ссылаются на источник[3], где нормальность распределения доказывается для сумм слабозависимых случайных величин[4]. В конце доказательства авторы извиняются за поверхностность «статистической»[5] леммы.
В 1958 году Альфред Реньи и Пал Туран дали более точное доказательство.
Особенности
В теореме идёт речь о распределении детерминированных величин, а не о распределении вероятностей случайной величины. Но если на достаточно большом отрезке натуральных чисел выбирать случайно число <math>n</math>, то число различных простых делителей этого числа будет иметь приблизительно нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией равным среднему значению <math>\log \log n</math> на отрезке. Поскольку эта функция, называемая повторным логарифмом, растёт медленно, то такое усреднение не будет приводить к большой ошибке даже на очень длинных отрезках. Вид распределения связывает теорему Эрдёша — Каца с центральной предельной теоремой.
Скорость роста повторного логарифма
Повторный логарифм — это чрезвычайно медленно растущая функция. В частности, числа до миллиарда содержат в разложении на простые в среднем три простых числа.
Например 1 000 000 003 = 23 × 307 × Шаблон:Num.
| n | Число знаков в n | Среднее число простых чисел в разложении | среднее отклонение |
|---|---|---|---|
| 1000 | 4 | 2 | 1,4 |
| 1 000 000 000 | 10 | 3 | 1,7 |
| 1 000 000 000 000 000 000 000 000 | 25 | 4 | 2 |
| 1065 | 66 | 5 | 2,2 |
| 109566 | 9567 | 10 | 3,2 |
| 10210 704 568 | Шаблон:Num | 20 | 4,5 |
| 101022 | 1022+1 | 50 | 7,1 |
| 101044 | 1044+1 | 100 | 10 |
| 1010434 | 10434+1 | 1000 | 31,6 |
Если заполнить шар размером с Землю песком, потребуется около 1033 песчинок. Для заполнения видимой части вселенной потребовалось бы 1093 песчинок. Там же может поместиться 10185 квантовых струн.
Числа такого размера — с 186 знаками — в среднем состоят лишь из 6 простых чисел в разложении.
Примечания
Ссылки
- ↑ Шаблон:Статья (MR2, 42c ; Zentralblatt 24, 102
- ↑ Если число <math>n</math> делится на <math>m</math>, то оно не делится на простое <math> p > \frac {n}{m}</math>. Значит, если несколько индикаторов приняли значение 1, то остальные индикаторы равны 0. Индикаторы слабо взаимозависимы и, кроме того, имеют разные распределения.
- ↑ Cf. for instance the first chapter of S. Bernstein’s paper, "Sur I’extension du theoreme limite du calcul des probabilites aux sommes de quantites dependantes", Mathematische Annalen, vol. 97, pp. 1-59.
- ↑ Взаимозависимость слагаемых видимо предполагается, но не уточняется.
- ↑ Кавычки авторов.
