Русская Википедия:Теорема Эренфеста
Шаблон:Квантовая механика Теоре́ма Эренфе́ста (Уравнения Эренфеста) — утверждение о виде уравнений квантовой механики для средних значений наблюдаемых величин гамильтоновых систем. Эти уравнения впервые получены Паулем Эренфестом в 1927 году.
Формулировка теоремы[1]:
В квантовой механике средние значения координат и импульсов частицы, а также силы, действующей на неё, связаны между собой уравнениями, аналогичными соответствующим уравнениям классической механики, то есть при движении частицы средние значения этих величин в квантовой механике изменяются так, как изменяются значения этих величин в классической механике.
Полная аналогия имеет место только при условии выполнения ряда требований[2][3].
Уравнение Эренфеста для среднего значения квантовой наблюдаемой гамильтоновой системы имеет вид
- <math>\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,H] \rangle + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle , </math>
где <math>\ A</math> — квантовая наблюдаемая, <math>\ H</math> — оператор Гамильтона системы, угловыми скобками обозначено взятие среднего значения, а квадратные скобки обозначают коммутатор. Это уравнение может быть выведено из уравнения Гейзенберга.
В частном случае, средние значения координаты <math>\ q</math> и импульса <math>\ p</math> частицы описываются уравнениями
- <math> \frac{d}{dt}\langle q\rangle = \frac{1}{m}\langle p\rangle , </math>
- <math> \frac{d}{dt}\langle p\rangle = - \left\langle \frac{\partial U}{\partial q}\right\rangle ,</math>
где <math>\ m </math> — масса частицы, <math>\ U(q) </math> — оператор потенциальной энергии частицы.
Уравнения Эренфеста для средних координат и импульсов являются квантовыми аналогами системы канонических уравнений Гамильтона и задают квантовое обобщение второго закона Ньютона.
Примечания
Литература
- Эренфест П. Относительность. Кванты. Статистика. Сборник статей, — Шаблон:М: Наука, 1972. (Статья «Замечание о приближенной справедливости классической механики в рамках квантовой механики» стр. 82-84)
- Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. 5-ое изд. — Шаблон:М: Наука, 1976. — 664 с (параграф 32, стр. 130—133)
- Матвеев А. Н. Атомная физика, — Шаблон:М: Высшая школа, 1989. — 439 с (стр. 124—126)
- Шаблон:Книга (VI.2. стр.214-216)
- Борисов А. В. Основы квантовой механики Шаблон:Wayback, — Физический факультет МГУ, 1998 г. (Теоремы Эренфеста Шаблон:Wayback)
