Русская Википедия:Теорема взаимности
Теоре́ма взаи́мности — название множества связанных друг с другом теорем, описывающих взаимное изменение гармонических по времени плотностей электрического тока (источников) и возникающих электромагнитных полей в уравнениях Максвелла для линейной изотропной и негиротропной среды.
Вероятно, наиболее известной и общей из таких теорем является лемма Лоренца (и её частные случаи, такие как теорема Рэлея — Карсона), доказанная Хендриком Лоренцом в 1896 году после аналогичных результатов Рэлея и Гельмгольца применительно к звуковым волнам и свету соответственно. Проще говоря, лемма устанавливает, что взаимосвязь переменного тока и порождённого им электрического поля остаётся неизменной при смене мест точки, в которой протекает ток и точки, в которой наблюдается поле.
Лемма Лоренца
Пусть ток с плотностью <math>\mathbf{J}_1</math> порождает электрическое поле <math>\mathbf{E}_1</math> и магнитное поле <math>\mathbf{H}_1</math>, при этом все три величины являются гармоническими функциями времени с угловой частотой <math>\omega</math>, то есть, их зависимость от времени описывается функцией <math>\exp(-i\omega t)</math>. Пусть некоторый другой гармонический ток <math>\mathbf{J}_2</math>, имеющий ту же угловую частоту <math>\omega</math> порождает электрическое и магнитное поля <math>\mathbf{E}_2</math> и <math>\mathbf{H}_2</math>. Согласно лемме Лоренца, если среда удовлетворяет некоторым естественным условиям, то для любой поверхности <math>S</math>, ограничивающей объём <math>V</math> верно следующее:
- <math>\int_V \left[ \mathbf{J}_1 \cdot \mathbf{E}_2 - \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{J}_2 \right] dV = \oint_S \left[ \mathbf{E}_1 \times \mathbf{H}_2 - \mathbf{E}_2 \times \mathbf{H}_1 \right] \cdot \mathbf{dS}.</math>
Это утверждение также можно сформулировать в дифференциальной форме (по теореме Гаусса — Остроградского)[1]:
- <math> \mathbf{J}_1 \cdot \mathbf{E}_2 - \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{J}_2 = \nabla \cdot \left[ \mathbf{E}_1 \times \mathbf{H}_2 - \mathbf{E}_2 \times \mathbf{H}_1 \right].</math>
Приведённая обобщённая форма утверждений обычно упрощается для ряда частных случаев. В частности, обычно предполагается, что <math>\mathbf{J}_1</math> и <math>\mathbf{J}_2</math> локализованы (то есть, у каждой из этих функций компактный носитель), и что амплитуда волн на бесконечном удалении равна нулю. В таком случае интеграл по площади становится равным нулю и лемма принимает вид:
- <math>\int \mathbf{J}_1 \cdot \mathbf{E}_2 \, dV = \int \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{J}_2 \, dV.</math>
Этот результат иногда называют теоремой Рэлея — Карсона. Зачастую формула упрощается ещё больше, если рассматривать точечные дипольные источники. В таком случае интеграл обращается в нуль и остаётся просто произведение электрического поля на соответствующий дипольный момент токов. Для пренебрежимо тонких проводов, в свою очередь, получается произведение тока в одном проводе, умноженное на напряжение в другом, и наоборот.
В другом частном случае, когда объём <math>V</math> целиком содержит оба локализованных источника (или если <math>V</math> не содержит ни один из источников), лемма принимает вид:
- <math>\oint_S (\mathbf{E}_1 \times \mathbf{H}_2) \cdot \mathbf{dS} = \oint_S (\mathbf{E}_2 \times \mathbf{H}_1) \cdot \mathbf{dS}.</math>
См. также
Литература
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. — М. : Гостехиздат, 1957. — 532 с. — (Теоретическая физика).
- Ronold W. P. King. Fundamental Electromagnetic Theory (Dover: New York, 1963). §IV.21.
- C. Altman and K. Such. Reciprocity, Spatial Mapping and Time Reversal in Electromagnetics (Kluwer: Dordrecht, 1991).
- H. A. Lorentz. "The theorem of Poynting concerning the energy in the electromagnetic field and two general propositions concerning the propagation of light, "Шаблон:Dead link Amsterdammer Akademie der Wetenschappen 4 p. 176 (1896).
- R. J. Potton. «Reciprocity in optics», Reports on Progress in Physics 67, 717—754 (2004). (A review article on the history of this topic.)
- J. R. Carson. «A generalization of reciprocal theorem» Bell System Technical Journal 3 (3), 393—399 (1924). Also J. R. Carson, "The reciprocal energy theorem, " ibid. 9 (4), 325—331 (1930).
- Ya. N. Feld. «On the quadratic lemma in electrodynamics» Sov. Phys—Dokl. 37, 235—236 (1992).
- C.-T. Tai. «Complementary reciprocity theorems in electromagnetic theory» IEEE Trans. Antennas Prop. 40 (6), 675—681 (1992).
- Wolfgang K. H. Panofsky and Melba Phillips. Classical Electricity and Magnetism. (Addison-Wesley: Reading, MA, 1962).
Примечания
