Теорема де Брёйна — Эрдёша — один из важных результатов в геометрии инцидентности, устанавливает точную нижнюю оценку на число прямых, определённых <math>n</math> точками на проективной плоскости.
По двойственности из этой теоремы следует ограничение на число пересечений конфигурации прямых.
Пусть задан набор <math>P</math> из <math>n</math> точек на проективной плоскости, из которых не все лежат на одной прямой.
Пусть <math>t</math> это число всех прямых, проходящих через пары точек из <math>P</math>:
Тогда <math>t \geqslant n</math>.
Более того, если <math>t=n</math>, то любые две прямые пересекаются в точке из <math>P</math>.
Доказательство
Стандартное доказательство ведётся по индукции. Теорема определённо верна для трёх точек, не лежащих на одной прямой. Пусть <math>n > 3</math>, утверждение верно для <math>n-1</math> и <math>P</math> — множество из <math>n</math> точек, не все из которых лежат на одной прямой.
По теореме Сильвестра одна из этих прямых проходит ровно через две точки из <math>P</math>.
Обозначим эти две точки <math>a</math> и <math>b</math>.
Если при удалении точки <math>a</math> все оставшиеся точки будут на одной прямой, то <math>P</math> образует пучок из <math>P</math> прямых (<math>n-1</math> простых прямых проходят через <math>P</math>, плюс одна прямая, проходящая через остальные точки).
В противном случае удаление <math>a</math> образует множество <math>P</math> из <math>n-1</math> неколлинеарной точки.
По предположению индукции через <math>P</math> проходят <math>n-1</math> прямые, что по меньшей мере на единицу меньше числа прямых, проходящих через точки множества <math>P</math>.
