Русская Википедия:Теорема де Гуа
Теоре́ма де Гуа — одно из обобщений теоремы Пифагора на старшие размерности.
Высечем из куба пирамиду, отрезав плоскостью одну из его вершин. Тогда для такой пирамиды верно следующее соотношение: квадрат площади грани противолежащей вершине куба (вершине при прямом угле) равен сумме квадратов площадей граней прилежащих к этому углу (см. рисунок).
- <math>S_{ABC}^2 = S_{ABD}^2 +S_{BDC}^2+S_{ADC}^2.\ </math>
Иными словами, если мы заменим плоский прямой угол трёхмерным, отрезки — гранями, а треугольник — пирамидой, то теорема снова окажется верна, но не для длин сторон, а для площадей граней полученной пирамиды.
Существует обобщение этой теоремы[1] для Шаблон:Math-мерного пространства и ортогональных Шаблон:Math-симплексов: сумма квадратов всех (n− 1)-мерных объёмов граней, прилегающих к ортогональному углу Шаблон:Math-симплекса, равна квадрату (Шаблон:Math− 1)-мерного объёма грани, противоположной ортогональному углу. Ортогональным углом называется угол Шаблон:Math-симплекса, все прилегающие к которому (Шаблон:Math− 1)-мерные грани попарно ортогональны. Теорема де Гуа является частным случаем этой теоремы для 3-симплексов (то есть тетраэдров), а теорема Пифагора — для 2-симплексов (обычных плоских треугольников).
Доказательства
Доказательство № 1
Выразим ребра DA, DB и DC прямоугольного тетраэдра через единичные координатные векторы <math>\vec e_1</math>, <math>\vec e_2</math> и <math>\vec e_3</math>[1]:
- <math>DA = a \vec e_1; \quad DB = b \vec e_2; \quad DC = c \vec e_3,</math>
где <math>a, b, c</math> — длины соответствующих сторон тетраэдра.
Для векторов AB и АС имеем:
- <math>AB = b \vec e_2 - a \vec e_1; \quad AC = c \vec e_3 - a \vec e_1.</math>
Поскольку площадь треугольника равна половине векторного произведения двух его сторон,
- <math>S_{ABC} = \frac{1}{2}(b \vec e_2 - a \vec e_1) \times (c \vec e_3 - a \vec e_1).</math>
Возведя последнее выражение в квадрат и раскрыв скобки c учётом того, что попарные векторные произведения единичных координатных векторов равны единице, получим
- <math>S^2_{ABC} = \frac{1}{4}(a^2 b^2 + a^2 c^2 + b^2 c^2).</math>
Площади граней ABD, ACD и BCD равны
- <math>S_{ABD} = \frac{ab}{2}; \quad S_{ACD} = \frac{ac}{2}; \quad S_{BCD} = \frac{bc}{2},</math>
откуда
- <math>S^2_{ABC} = S^2_{ABD} + S^2_{ACD} + S^2_{BCD}.</math>
Доказательство № 2
Известно, что площадь проекции плоской фигуры на некоторую плоскость равна площади этой фигуры, умноженной на косинус двугранного угла между фигурой и плоскостью проекции[2]. Проекциями треугольника ABC на координатные плоскости являются треугольники ABD, ACD и BCD. Поэтому
- <math>S_{ABD} = S_{ABC} \cos \alpha ; \quad S_{ACD} = S_{ABC} \cos \beta ; \quad S_{BCD} = S_{ABC} \cos \gamma,</math>
где <math>\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma</math> — направляющие косинусы нормали к плоскости ABC.
Согласно свойству направляющих косинусов
- <math>\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1,</math>
откуда
- <math>S^2_{ABC} = S^2_{ABC} \cos^2 \alpha + S^2_{ABC} \cos^2 \beta + S^2_{ABC} \cos^2 \gamma</math>
и
- <math>S^2_{ABC} = S^2_{ABD} + S^2_{ACD} + S^2_{BCD}.</math>
Доказательство № 3
Теорема может быть доказана, исходя из формулы Герона для площади треугольника и теоремы Пифагора.
История
В 1783 году теорема была представлена Парижской академии наук французским математиком Жаном-Полем де Гуа, однако ранее она была известна Рене Декарту[3] и до него en (Johann Faulhaber), который, вероятно, первым открыл её в 1622 году[4]. В более общем виде теорему сформулировал fr (Charles Tinseau) в докладе Парижской академии наук в 1774 году[4].
Примечания
Ссылки
- Шаблон:MathWorld
- Amir-Moéz, A.R.; Byerly, R.E. Pythagorean theorem in unitary spaces. — Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat., 7 (1996), 85–89.
- Cho, E.C. Pythagorean theorems on rectangular tetrahedron. — Appl. Math. Lett., vol. 4 (1991), no. 6, 37–38.
- Czyżewska, K. Generalization of the Pythagorean theorem. — Demonstratio Math., vol. 24 (1991), no. 1-2, 305–310.
- Lin, S-Y T.; Lin, Y-F. The n-Dimensional Pythagorean Theorem. — Linear and multilinear algebra, vol. 26, no. 1/2, 1990
- Yoshinaga, E.; Akiba, S. Very simple proofs of generalized Pythagorean theorem. — Sci. Rep. Yokohama Nat. Univ. Sect. I Math. Phys. Chem., No. 42 (1995), 45–46.
- Peter Wakefield Sault A 3D analogue of Phythagoras's theorem.
- Istvan Meder Pythagorean Theorem in the n-dimensional space
- P. S. Donchian and H. S. M. Coxeter An n-dimensional extension of Pythagoras’ Theorem. Math. Gazette, 19:206, 1935.
- J.-P. Quadrat, J. B. Lassere, and J.-B. Hiriart-Urruty Pythagoras’ theorem for areas. American Mathematical Monthly, 108:549–551, 2001.
- ↑ 1,0 1,1 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокAlvarez
не указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокOsgood
не указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокDescartes
не указан текст - ↑ 4,0 4,1 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокAltshiller
не указан текст