Русская Википедия:Теорема котангенсов

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Triangle.Labels.svg

Общий вид треугольника

Теорема котангенсов — тригонометрическая теорема, связывающая радиус вписанной окружности треугольника с длиной его сторон. Теорему котангенсов удобно использовать при решении треугольника по трём сторонам.

Формулировка

Пусть

<math>a, b, c</math> — длины трёх сторон треугольника,

<math>A, B, C</math> — углы, лежащие напротив, соответственно, сторон <math>a, b, c</math>,

<math> r </math> — радиус вписанной окружности треугольника и

<math> p = \frac{a+b+c}{2 } </math> — полупериметр треугольника.

Тогда справедливы следующие формулы:

<math>\mathrm{ctg}{ \frac{A}{2 }} = \frac{p-a}{r}</math>,

<math>\mathrm{ctg}{ \frac{B}{2 }} = \frac{p-b}{r}</math>,

<math>\mathrm{ctg}{ \frac{C}{2 }} = \frac{p-c}{r}</math>,

или эквивалентно:

<math> \frac{p-a}{\mathrm{ctg}(A/2)} = \frac{p-b}{\mathrm{ctg}(B/2)} = \frac{p-c}{\mathrm{ctg}(C/2)} = r </math>.

Словами теорему можно сформулировать так: котангенс половинного угла равен отношению полупериметра минус длина противолежащей стороны указанного угла к радиусу вписанной окружности.

Обобщение

В сферической тригонометрии существует похожая формула для половины угла, а также двойственная к ней формула половины стороны.

Следствия

Из теоремы котангенсов может быть получено выражение для радиуса вписанной окружности <math> r = \sqrt{\frac{1}{p} (p-a)(p-b)(p-c)} </math>. Далее, так как площадь треугольника <math>S = p r</math>, из теоремы котангенсов следует формула Герона.

См. также

• Теорема косинусов
• Теорема о проекциях
• Теорема синусов
• Теорема тангенсов
• Тригонометрические тождества
• Тригонометрические функции
• Формулы Мольвейде

См. также

• Тригонометрические тождества
• Тригонометрические функции