Русская Википедия:Теорема монотонности Александрова
Теорема монотонности Александрова — теорема о выпуклых многогранниках, доказанная А. Д. Александровым в 1937 году[1],[2],[3].
Формулировки
Прямая
Если между гранями двух замкнутых выпуклых многогранников в трёхмерном евклидовом пространстве установлено взаимно-однозначное соответствие так, что (i) единичные нормали к соответствующим граням совпадают и (ii) ни одну из граней нельзя поместить внутри соответствующей ей грани параллельным переносом, то многогранники получаются один из другого параллельным переносом (и, в частности, они конгруэнтны).
Через монотонные функции
Функция <math>f(Q)</math> называется монотонной функцией многоугольника <math>Q</math>, если она обладает свойством: <math>f(Q_1)>f(Q_2)</math>, если <math>Q_2</math> можно поместить внутри <math>Q_1</math>.
Пусть <math>P_1</math> и <math>P_2</math> — замкнутые выпуклые многогранники в трёхмерном евклидовом пространстве с гранями <math>Q_1^1,\dots,Q_1^n</math> и <math>Q_2^1,\dots,Q_2^n</math> соответственно, причём для любого <math>k=1,\dots,n</math> выполнены условия: (i) единичные нормали к граням <math>Q_1^k</math> и <math>Q_2^k</math> совпадают и (ii) существует монотонная функция <math>f_k</math> такая, что <math>f_k(Q_1^k)=f_k(Q_2^k)</math>. Тогда многогранники <math>P_1</math> и <math>P_2</math> получаются один из другого параллельным переносом (и, в частности, они конгруэнтны).
Замечания
- Для трёхмерного пространства теорема Александрова о выпуклых многогранниках обобщает теорему единственности Минковского, утверждающую, что «два равных многогранника с попарно параллельными и равновеликими гранями равны и параллельно расположены». В самом деле, в качестве монотонной функции многоугольника <math>f(Q)</math> здесь достаточно взять площадь.
- Утверждение, получающееся из теоремы Александрова о выпуклых многогранниках, если в ней в качестве монотонной функции многоугольника <math>f(Q)</math> взять периметр, интересно в тем, что уже более 70 лет геометры не могут найти соответствующей теоремы существования.
- В евклидовом пространстве размерности 2 утверждение, аналогичное теореме Александрова о выпуклых многогранниках, верно, но тривиально.
- В евклидовом пространстве размерности 4 (и во всех более высоких размерностях) утверждение, аналогичное теореме Александрова о выпуклых многогранниках, неверно. В качестве контрпримера можно взять четырёхмерный куб с ребром 2 и четырёхмерный прямоугольный параллелепипед с рёбрами 1, 1, 3, 3.
- О равенстве многомерных выпуклых многогранников при невмещаемости их параллельных двумерных граней, см [4].
См. также
Примечания
- ↑ А.Д. Александров, Элементарное доказательство теоремы Минковского и некоторых других теорем о выпуклых многогранниках, Известия АН СССР. Сер. мат. 1, № 4, 597—606 (1937).
- ↑ А.Д. Александров, Выпуклые многогранники. М.; Л.: ГИТТЛ, 1950.
- ↑ Л.А. Люстерник, Выпуклые фигуры и многогранники. М.: ГИТТЛ, 1956.
- ↑ А.И. Медяник, Одно обобщение теоремы единственности А.Д. Александрова для замкнутых выпуклых многогранников на случай <math>n</math>-мерного пространства, Укр. геом. сб. 8, 91—94 (1970).
