Русская Википедия:Теорема об изменении кинетического момента системы

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Теорема об изменении кинетического момента системы (теорема об изменении момента импульса системы) — одна из общих теорем динамики, является следствием законов Ньютона. Связывает изменение кинетического момента с моментом внешних сил, действующих на тела, составляющие систему. В качестве системы, о которой идёт речь в теореме, может выступать любая механическая система, состоящая из любых тел.

Формулировка теоремы

Кинетическим моментом (моментом импульса) механической системы называют величину, равную сумме кинетических моментов (моментов импульса) всех тел, входящих в систему относительно центра приведения. Главный момент внешних сил, действующих на тела системы, — это векторная сумма моментов всех внешних сил, действующих на тела системы относительно центра приведения.

Теорема об изменении кинетического момента системы утверждаетШаблон:Sfn: Шаблон:Quotation{dt} = \vec M^{e}</math>.}}

Теорема допускает обобщение на случай неинерциальных систем отсчёта. В этом случае к главному моменту внешних сил необходимо добавить главные моменты переносных и кориолисовых сил инерции[1].

Для твёрдого тела уравнение <math>\frac{d \vec L_{0}}{dt} = \vec M^{e}</math> выражает основной закон динамики твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.

В проекциях на оси неподвижной прямоугольной декартовой системы координат с началом в полюсе O закон изменения момента импульса имеет вид: <math>\frac{dL_{x}}{dt} = M_{x}^{e}, \frac{dL_{y}}{dt} = M_{y}^{e}, \frac{dL_{z}}{dt} = M_{z}^{e}</math>. Здесь <math>L_{x}, L_{y}, L_{z}, M_{x}^{e}, M_{y}^{e}, M_{z}^{e}</math> - моменты импульса системы и главные моменты внешних сил относительно соответствующих осей координат[2].

Уравнение динамики твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки <math>O</math>, в жёстко связанной с телом подвижной системе координат, начало которой находится в точке <math>O</math>, имеет вид: <math>\frac{\tilde {d} \vec{L}}{dt}=\vec {M} - \vec{\omega} \times \vec {L}</math>. Здесь <math>L</math> - момент импульса тела, <math>M</math> - главный момент приложенных к телу внешних сил относительно точки <math>O</math>, <math>\omega</math> - угловая скорость вращения тела, <math>\frac{\tilde {d} \vec{L}}{dt} = \frac{dL_{x'}}{dt}i' + \frac{dL_{y'}}{dt}j' + \frac{dL_{z'}}{dt}k'</math> - относительная производная по времени от вектора <math>\vec {L}</math>, <math>i', j', k'</math> - орты подвижной системы[2].

Если оси подвижной системы координат совпадают с главными осями инерции тела в точке <math>O</math>, то уравнения движения тела в проекциях на эти оси имеют вид:

<math>J_{1} \dot \omega_{1} + (J_{3} - J_{2}) \omega_{2} \omega_{3} = M_{1}</math>,
<math>J_{2} \dot \omega_{2} + (J_{1} - J_{3}) \omega_{3} \omega_{1} = M_{2}</math>,
<math>J_{3} \dot \omega_{3} + (J_{2} - J_{1}) \omega_{1} \omega_{2} = M_{3}</math>,

где <math>J_{1}, J_{2}, J_{3}</math> - главные моменты инерции тела в точке <math>O</math>, <math>\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}</math> - проекции вектора угловой скорости тела на главные оси инерции, <math>\dot \omega_{i} = \frac{d \omega_{i}}{dt}, i =1,2,3</math>, <math>M_{1}, M_{2}, M_{3}</math> - моменты всех внешних сил относительно тех же осей (динамические уравнения Эйлера)[2].

Доказательство

Пусть система состоит из <math>n</math> материальных точек с массами <math> m_{i}</math>, скоростями <math>\vec v_{i}</math> и радиус-векторами относительно начала координат <math>\vec r_{i}</math>. Кинетический момент системы относительно начала координат вычисляется по формуле: <math>\vec L_{0} = \sum_{k=1}^{n} \vec r_{k} \times m_{k} \vec v_{k} </math>. Найдем производную по времени от этого равенства: <math>\frac {d \vec L_{0}}{dt} = \frac {d}{dt} \sum_{k=1}^{n} (\vec r_{k} \times m_{k} \vec v_{k})= \sum_{k=1}^{n} \frac {d}{dt} (\vec r_{k} \times m_{k} \vec v_{k}) = \sum_{k=1}^{n} \frac{d \vec r_{k}}{dt} \times m_{k} \vec v_{k} + \sum_{k=1}^{n} \vec r_{k} \times \frac{d}{dt} (m_{k} \vec v_{k}) = \sum_{k=1}^{n} \vec r_{k} \times \frac{d}{dt}(m_{k} \vec v_{k})</math>. Это вытекает из <math>\frac{d \vec r_{k}}{dt} \times m_{k} \vec v_{k} =\vec v_{k} \times m_{k} \vec v_{k} = 0</math>, поскольку <math>v_{k} m_{k} v_{k} \sin(\vec v_{k}, m_{k} \vec v_{k}) = 0</math>. Пусть к <math>k</math> точке системы приложены внешние <math>\vec F_{k}^{e}</math> и внутренние <math>\vec F_{k}^{i}</math> силы. Тогда из второго закона Ньютона вытекает: <math> \vec r_{k} \times \frac{d}{dt}(m_{k} \vec v_{k}) = \vec r_{k} \times \vec F_{k}^{e} + \vec r_{k} \times \vec F_{k}^{i}</math>. Из третьего закона Ньютона следует, что в механической системе сумма моментов внутренних сил равна нулю, так как для пары взаимодействующих точек эти силы направлены по соединяющей их прямой (это существенно), равны по модулю и противоположны по направлению. Приходим к утверждению теоремы: <math>\frac {d \vec L_{0}}{dt} = \vec M_{0} (\vec F^{e})</math>.

Закон сохранения кинетического момента системы

Шаблон:Main Из теоремы об изменении кинетического момента системы следует, что если главный момент внешних сил относительно центра равен нулю, то кинетический момент системы относительно того же центра является постоянным по модулю и направлению <math>\vec L_{0} = const</math>.

Закон сохранения кинетического момента гласитШаблон:Sfn:

Шаблон:Quotation

Случай системы с идеальными стационарными связями

Шаблон:Mainref

В тех случаях, когда предметом изучения является лишь движение системы, а реакции связей не представляют интереса, пользуются формулировкой теоремы для системы с идеальными стационарными связями, которая выводится с учетом принципа Даламбера-Лагранжа.

Теорема об изменении кинетического момента системы с идеальными стационарными связями утверждает[3]:

Шаблон:Quotation

Данная теорема может быть доказана так. Заменяя в общем уравнении динамики <math>\sum_{k=1}^{N}(\vec{F}_k-m_{k}\vec{w}_k) \delta \vec{r}_k=0</math> приращение <math>\delta \vec{r}_k = \vec{i} \delta \varphi \times \vec{r}_k</math>, получаем:

<math>\sum_{k=1}^{N} m_{k} \frac{d \vec{v}_k}{dt} ( \vec{i} \times \vec{r}_k ) = ( \sum_{k=1}^{N} \vec{F}_k ) (\vec{i} \times \vec{r}_k )</math>

Вследствие того, что скалярно-векторное произведение не меняется при циклической перестановке множителей:

<math>\vec{i} \sum_{k=1}^{N} ( \vec{r}_k \times m_{k} \frac{d \vec{v}_k}{dt} ) = \vec{i} \sum_{k=1}^{N} ( \vec{r}_k \times \vec{F}_k )</math>

или

<math>\vec{i} \frac{d}{dt} \sum_{k=1}^{N} ( \vec{r}_k \times m_k \vec{v}_k ) = \vec{i} \sum_{k=1}^{N} ( \vec{r}_k \times \vec{F}_k^{ae} )</math>

или

<math>\vec{i} \frac{d\vec{L}_0}{dt} = \sum_{k=1}^{N} mom_{x} F_{x}^{ae}</math>

или

<math>\frac{d}{dt} (\vec{i} \vec{L}_0 ) = \sum_{k=1}^{N} mom_{x} F_{x}^{ae}</math>

Итоговый результат:

<math>\frac{dL_{x}}{dt} = \sum_{k=1}^{N} mom_{x} F_{x}^{ae}</math>

В формулах использованы значки <math>^a</math> (активная, то есть не являющаяся реакцией связей, сила) и <math>^e</math> (внешняя сила).

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Жирнов Н. И. Классическая механика. — Серия: учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. — М., Просвещение, 1980. — Тираж 28 000 экз. — с. 261
  2. ↑ 2,0 2,1 2,2 Яворский Б. М., Детлаф А. А., Лебедев А. К. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов. - М., Оникс, 2007. - ISBN 978-5-488-01248-6. - с. 83-84
  3. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок Бугаенко не указан текст
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Теорема_об_изменении_кинетического_момента_системы&oldid=10920245