Русская Википедия:Теорема об открытом отображении

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Теорема об открытом отображении утверждает Шаблон:Рамка Линейный непрерывный оператор <math>A</math>, отображающий банахово пространство <math>X</math> на все банахово пространство <math>Y</math>, является открытым отображением, то есть <math>A(G)</math> открыто в <math>Y</math> для любого <math>G</math>, открытого в <math>X</math>; Шаблон:Конец рамки

Условиям теоремы об открытом отображении удовлетворяет, например, всякий ненулевой линейный непрерывный функционал, определенный на вещественном (комплексном) банаховом пространстве <math>X</math> со значениями в <math>\R</math> (или в <math>\mathbb C</math>).

Теорема доказана Стефаном Банахом. Из неё немедленно следует теорема Банаха о гомеоморфизме: Шаблон:Рамка Непрерывный линейный оператор <math>A</math>, отображающий взаимно однозначно банахово пространство <math>X</math> на банахово пространство <math>Y</math>, является гомеоморфизмом, то есть <math>A^{-1}</math> ― также линейный непрерывный оператор. Шаблон:Конец рамки

Обобщения

Теорема об открытом отображении допускает следующее обобщение: Шаблон:Рамка Непрерывный линейный оператор, отображающий совершенно полное топологическое векторное пространство <math>X</math> на бочечное пространство <math>Y</math>, есть открытое отображение. Шаблон:Конец рамки

См. также

Шаблон:Rq