Пусть через точку М, являющуюся серединой хордыPQ некоторой окружности, проведены две произвольные хорды АВ и CD той же окружности. Пусть хорды AD и ВС пересекают хорду PQ в точках X и Y. Тогда М является серединой отрезка XY.
Замечания
Верна и обратная теорема о бабочке:
Пусть через точку М внутри некоторой окружности проведены две произвольные хорды АВ и CD. Пусть хорды AD и ВС пересекают произвольную хорду PQ в точках X и Y. Тогда если М является серединой отрезка XY, то она одновременно является серединой хордыPQ.
Теорема о бабочке имеет большое число различных доказательств, как в рамках элементарной геометрии, так и использующих методы, выходящие за её пределы.
В частности, в проективной моделиплоскости Лобачевского, треугольник <math>\triangle AMD</math> центрально симметричен <math>\triangle BMC</math> и отсюда легко следует теорема.
При помощи проецирования двойных отношений: Рассмотрим двойное отношение точек <math>(P,M,X,Q)</math>, и спроецируем его на окружность из точки <math>A</math>. Точки <math>P</math> и <math>Q</math> перейдут сами в себя, так как принадлежат окружности, а точки <math>M</math> и <math>X</math> перейдут в точки <math>B</math> и <math>D</math> соответственно. Получаем <math>(P,M,X,Q)=(P,B,D,Q)</math> (последнее следует трактовать как двойное отношение точек на комплексной плоскости). Проецируем обратно на прямую <math>PQ</math> с центром в точке <math>C</math>, получаем <math>(P,M,X,Q)=(P,Y,M,Q)</math>. Распишем двойное отношение по определению, получим необходимое равенство.
Обобщение Шарыгина[2]: Пусть на окружности дана хорда AB, на ней — точки M и N, причём AM = BN. Через точки M и N проведены хорды PQ и RS, соответственно. Прямые QS и RP пересекают хорду AB в точках K и L, тогда AK = BL.
