Русская Википедия:Теорема о биссектрисе
Теорема о биссектрисе — классическая теорема геометрии треугольника.
Формулировка
Биссектриса при вершине треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. То есть, если биссектриса при вершине <math>A</math> треугольника <math>\triangle ABC</math> пересекает сторону <math>BC</math> в точке <math>D</math> то
- <math>\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}.</math>
Замечания
- То же равенство выполняется и для точки <math>D</math> лежащей на пересечении внешней биссектрисы и продолжении стороны <math>BC</math>.
История
Теорема о биссектрисе формулируется в шестой книге «Начал Евклида» (предложение III)[1], в частности, на греческом языке в византийском манускрипте[2]. Ранняя цитата по Евклиду этой теоремы в русскоязычных источниках содержится в одном из первых русских учебников геометрии — рукописи начала XVII века «Синодальная №42» (книга 1, часть 2, глава 21).
Доказательства
Существует несколько методов доказательства. Например, методом площадей или проведением из другой вершины прямой, параллельной биссектрисе, до ее пересечения с продолжением одной из сторон.
Метод площадей
Рассмотрим треугольник ABC. Из вершины A на сторону BC опущена биссектриса AD. Найдем площади треугольников ABD и ACD:
<math>\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AB \cdot AD \cdot \sin \alpha}{\frac{1}{2}AC \cdot AD \cdot \sin\alpha}=\frac{AB}{AC}. </math>
С другой стороны,
<math>\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{\frac{1}{2}BD \cdot AH}{\frac{1}{2}CD\cdot AH}=\frac{BD}{CD}. </math>
Значит,
<math>\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}. </math>
Через теорему синусов
Рассмотрим треугольник ABC с биссектрисой AD. Запишем теорему синусов для треугольников ABD и ACD:
<math>\frac{AB}{\sin \gamma}=\frac{BD}{\sin \alpha}, \quad (1) </math>
<math>\frac{AC}{\sin(180^\circ - \gamma)}=\frac{CD}{\sin\alpha}. </math>
Но <math>\sin(180^\circ - \gamma)=\sin\gamma, </math> следовательно,
<math>\frac{AC}{\sin\gamma}=\frac{CD}{\sin\alpha}. \quad (2) </math>
Поделив равенство (1) на равенство (2), получим:
<math>\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}. </math>
Через подобие треугольников
Данный способ доказательства основан на продлении биссектрисы до пересечения с ней перпендикуляра, опущенного на нее из одной из вершин.
Рассмотрим треугольник ABC с биссектрисой AD. Опустим перпендикуляры BK и CT на нее и ее продолжение соответственно. Треугольники KBD и TCD подобны по двум углам, значит,
<math>\frac{BD}{CD}=\frac{BK}{CT}.</math>
Треугольники ABK и ACT тоже подобны по двум углам, значит, справедливо равенство:
<math>\frac{AB}{AC}=\frac{BK}{CT}.</math>
Отсюда получаем, что <math>\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}.</math>
Вариации и обобщения
- Если D — произвольная точка на стороне BC треугольника ABC, тогда
- <math>{\frac {|BD|} {|DC|}}
={\frac {|AB| {\frac {\sin \angle DAB}{\sin \angle ADB}}}{|AC| {\frac {\sin \angle DAC}{\sin \angle ADC}}}} ={\frac {|AB| {\frac {\sin \angle DAB}{\sin \angle ADB}}}{|AC| {\frac {\sin \angle DAC}{\sin (180^\circ - \angle ADB))}}}} ={\frac {|AB| \sin \angle DAB}{|AC| \sin \angle DAC}}. </math>
- В случае, когда AD — биссектриса, <math>\sin \angle DAB = \sin \angle DAC</math>.
- Биссекторная плоскость двугранного угла в тетраэдре (то есть плоскость, делящая двугранный угол пополам) делит противоположное его ребро на части, пропорциональные площадям граней тетраэдра, являющихся гранями этого двугранного угла[3]Шаблон:Rp.
См. также
- Антибиссектриса
- Биссектриса
- Высота (геометрия)
- Высота треугольника
- Инцентр
- Медиана треугольника
- Симедиана
- Ось внешних биссектрис или антиортовая ось
- Треугольник
- Треугольник трёх внешних биссектрис
- Ось внешних биссектрис или антиортовая ось
- Центроид
- Чевиана
Примечания
Литература
.png){kind=link}
.png){kind=link}
.png){kind=link}