Русская Википедия:Теорема о вписанных окружностях
Теорема о вписанных окружностях берёт начало в японских сангаку и относится к следующему построению: серия лучей проводится из некой точки на заданную прямую так, что окружности, вписанные в получающиеся треугольники, образованные смежными лучами и прямой, одинаковы. На иллюстрации одинаковые синие окружности определяют угол между лучами, как описано выше.
Формулировка теоремы
Теорема утверждает, что при описанном выше построении окружности, вписанные в треугольники, образованными лучами через один (то есть полученные объединением двух соседних треугольников), через два и т. д., также равны. Случай соседних треугольников показан на рисунке зелёными окружностями: все они имеют одинаковые размеры.
Из факта, что утверждение теоремы не зависит от угла между начальным лучом и заданной прямой, можно сделать вывод, что теорема скорее относится к математическому анализу, а не геометрии, и должна иметь отношение к непрерывной масштабной функции, которая определяет расстояние между лучами. Фактически этой функцией является гиперболический синус.
Лемма
Теорема является прямым следствием следующей леммы.
Предположим, что n-й луч имеет угол <math>\gamma_n</math> к нормали для базовой прямой. Если <math>\gamma_n</math> параметризовано согласно равенству <math> \mathrm{tg}\,\gamma_n = \mathrm{sh}\,\theta_n</math>, то значения <math>\theta_n = a + nb</math>, где <math>a</math> и <math>b</math> являются вещественными константами, определяют последовательность лучей, которые удовлетворяют условиям вписанных окружностей (см. выше), и более того, любая последовательность лучей, удовлетворяющих этим условиям, может быть получена надлежащим выбором параметров <math>a</math> и <math>b</math>.
Доказательство леммы
На рисунке прямые PS и PT являются смежными лучами, имеющими углы <math>\gamma_n</math> и <math>\gamma_{n+1}</math> с прямой PR, перпендикулярной базовой прямой RT.
Проведём прямую QY, параллельную базовой прямой, через центр O вписанной в треугольник <math>\triangle</math> PST окружности. Эта окружность касается лучей в точках W и Z. Отрезок PQ имеет длину <math>h-r</math>, а отрезок QR имеет длину <math>r</math>, что равно радиусу вписанной окружности.
Тогда <math>\triangle</math> OWX подобен <math>\triangle</math> PQX, <math>\triangle</math> OZY подобен <math>\triangle</math> PQY, а из XY = XO + OY мы получаем
- <math>(h-r) (\mathrm{tg}\,\gamma_{n+1} - \mathrm{tg}\,\gamma_n ) = r ( \sec \gamma_n + \sec \gamma_{n+1} ).</math>
Это отношение на множестве углов <math>\{ \gamma_m \}</math> выражает условие равенства вписанных окружностей.
Для доказательства леммы положим <math> \mathrm{tg}\,\gamma_n = \mathrm{sh}\,(a+nb)</math>. Это выражение можно преобразовать в <math> \sec \gamma_n = \mathrm{ch}\,(a+nb)</math>.
Используя равенство <math>a+(n+1)b = (a+nb)+b</math>, мы применяем дополнительные правила для <math> \mathrm{sh}\,</math> и <math>\mathrm{ch}\,</math> и проверяем, что отношение равенства окружностей удовлетворяется выражением
- <math>\frac {r}{h-r} = \mathrm{th}\, \tfrac{b}{2}.</math>
Мы получили выражение для параметра <math>b</math> в терминах геометрических величин <math>h</math> и <math>r</math>. Далее, определяя <math>b</math>, мы получаем выражение для радиусов <math>r_N</math> вписанных окружностей, образованных выбором каждого N-го луча в качестве сторон треугольника:
- <math>\frac {r_N}{h-r_N} = \mathrm{th}\, \tfrac{Nb}{2}.</math>
См. также
Литература
- Tabov J. A note on the five-circle theorem // Mathematics Magazine. — 1989. — Т. 63. — № 2. — С. 92—94.
