Русская Википедия:Теорема о гномоне
Теорема о гномоне[1] — это геометрическая теорема. Она утверждает, что два параллелограмма в гномоне имеют равную площадь.
Формулировка
Дан параллелограмм <math>ABCD</math>, на диагонали <math display="inline">AC</math> отмечена точка <math display="inline">P</math>. Прямая, параллельная <math display="inline">AB</math> и проходящая через точку <math display="inline">P</math>, пересекает сторону <math display="inline">AD</math> в точке <math display="inline">I</math>, а сторону <math display="inline">BC</math> — в точке <math display="inline">F</math>. Прямая, параллельная <math display="inline">BC</math> и проходящая через точку <math display="inline">P</math>, пересекает сторону <math display="inline">AB</math> в точке <math display="inline">H</math>, а сторону <math display="inline">CD</math> — в точке <math display="inline">G</math>. Теорема о гномоне утверждает, что у параллелограммов <math display="inline">HBFP</math> и <math display="inline">IPGD</math> равная площадь[2].
Гномон — это название L-образной фигуры, в данном примере гномоном является фигура <math display="inline">ADGPFB</math>. Параллелограммы равной, согласно теореме, площади, называются «дополнениями» (Шаблон:Lang-en) гномона.
Доказательство
Для доказательства теоремы рассматриваются площадь самого большого параллелограмма (<math>ABCD</math>) и двух внутренних параллелограммов, внутри которых находится диагональ <math>AC</math> (это параллелограммы <math>AIPH</math> и <math>PGCF</math>). Во-первых, по свойству параллелограмма диагонали делят параллелограмм на два треугольника равной площади. Во-вторых, разница площади самого большого параллелограмма и двух параллелограммов, внутри которых находится диагональ — это и есть площадь двух дополнений гномона (на рисунке дополнения гномона выделены зелёным и красным)[3]. Отсюда следует:
<math>|IPGD|=\frac{|ABCD|}{2}-\frac{|AHPI|}{2}-\frac{|PFCG|}{2}=|HBFP|</math>
Связанные утверждения и обобщения
Теорема о гномоне используется для того, чтобы построить новый параллелограмм или прямоугольник равной площади с помощью циркуля и линейки. Также она позволяет дать геометрическую интерпретацию деления, что позволяет перевести геометрические задачи в алгебраические. Так, если даны длины двух отрезков, можно построить третий, равный частному данных отрезков. Ещё один способ применения теоремы — разделение отрезка точкой точно в таком же отношении, как разделён данный отрезок (см. чертёж)[2].
Аналогичное утверждение может быть сделано в пространстве. В этом случае даётся точка на пространственной диагонали параллелепипеда и вместо двух параллельных прямых появляются три плоскости. Три плоскости разделяют параллелепипед на восемь меньших параллелепипедов, две плоскости находятся рядом с диагональю. Три параллепипеда здесь играют роль дополнений, они имеют равный объём[4].
История
Теорема о гномоне описана в «Началах» Евклида (приблизительно в 300 год до н. э.), с её помощью в книге доказываются и другие теоремы. Теорема описана под номером 43 в первой книге «Начал», причём Евклид не использовал для описания чертежа термин «гномон» Он будет введён во второй книге «Начал». С помощью гномона Евклид доказывает и другие теоремы, например, №6 в книге II, №29 в книге VI и теоремы 1, 2, 3 и 4 в книге XIII[3][5][6].
Литература
Ссылки
- David E. Joyce Теорема о гномоне mathcs.clarku.edu
- David E. Joyce Определение гномона в «Началах» Евклида mathcs.clarku.edu
Примечания
