Русская Википедия:Теорема о замкнутом графике

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема о замкнутом графике — важный результат функционального анализа, устанавливающий критерий ограниченности линейного оператора между банаховыми пространствами.

Формулировки

• Линейный оператор <math>T:\, X\to Y</math> между банаховыми пространствами X и Y ограничен тогда и только тогда, когда его график <math>\Gamma_T:=\{(x,Tx)\in X\times Y: x \in D(T) \}</math> замкнут в пространстве <math>X\times Y</math> и оператор определен на всём пространстве X (т.е. <math>D(T) = X</math>).
• Линейный оператор <math>T:\, X\to Y</math> между банаховыми пространствами X и Y ограничен тогда и только тогда, когда для любой последовательности <math>\{x_n\}_{n\in\mathbb N}\subset X</math>, такой что <math>x_n\to x</math> и <math>Tx_n\to y</math>, выполняется <math>y=Tx</math>.

Замечания

• Первая из приведённых формулировок сохраняет силу и при некотором ослаблении требований; а именно, достаточно потребовать, чтобы X было бочечным линейным топологическим пространством, а Y — пространством Фреше.

Следствия

Из теоремы о замкнутом графике следует теорема Хеллингера — Тёплица.

Ссылки

• Доказательство теоремы о замкнутом графикеШаблон:Ref-en