Русская Википедия:Теорема о лямбда-функции
Теорема о лямбда-функции (теорема о Λ-функции) — теорема в математике, утверждающая, что всякая функция с аргументом <math>x</math>, представленная в виде приведённого многочлена, а также не имеющая свободного члена является формулой суммы первых <math>x</math> (<math>x\in \mathbb{N}</math>) элементов последовательности, заданной полной лямбда-функцией, принимающей в качестве аргумента натуральное число, обозначающее порядковый номер элемента в последовательности.
Теорема доказывается введением понятий полной и неполной лямбда-функций.
Формулировка теоремы
У теоремы о лямбда-функции существует две формулировки. Основная формулировка теоремы исходит из его алгебраического смысла:
Всякая функция-многочлен с натуральным аргументом <math>x</math> без свободного члена является суммой первых <math>x</math> членов последовательности, заданной другой функцией-многочленом.
Однако существует ещё одна формулировка, исходящая из её геометрического смысла:
Если из графика, проходящего через начало координат, на оси абсцисс на натуральных позициях провести отрезки-вертикали, параллельные оси ординат, от начала оси абсцисс и до пересечения с графиком и от этих точек пересечения провести лучи, параллельные оси абсцисс, то на этих отрезках-вертикалях точками пересечения с лучами образуются отрезки, длины которых, начиная с нижнего к верхнему, можно задать функцией, аргумент которой - натуральный номер отрезка снизу вверх.
Основные положения
Положение 1. Если для приведённого многочлена <math>f(x)</math> существует функция <math>g(x)</math> такая, что <math>f(x) = \sum_{k=1}^x g(k)</math>, то такая функция называется полной лямбда-функцией.
Положение 2. Формула (1) полной лямбда-функции выводится исходя из основного уравнения теоремы:
<math>f(x) = \sum_{k=1}^x g(k)</math>.
Формулу суммы можно разложить на сумму двух элементов, "отделив" от общей формулы суммы последний элемент — <math>g(x)</math>:
<math>f(x)=g(x) + \sum_{k=1}^{x-1} g(k)</math>.
Из получившейся формулы можно выразить <math>g(x)</math>:
<math>g(x) = f(x)-\sum_{k=1}^{x-1} g(k)</math>.
С учётом формулы (1) получим формулу (2):
<math>g(x) = f(x)-f(x-1)</math>.
Такая формула называется лямбда-функцией и обозначается <math>f(x) = \Lambda g(x)</math>.
Положение 3. При суммировании лямбда-функции <math>g(x)</math> результат будет не всегда равен <math>f(x)</math>. В случае, если он не равен <math>f(x)</math>, такая лямбда-функция будет называться неполной. Если же при суммировании <math>g(x)</math> всегда будет равен <math>f(x)</math>, то такая лямбда-функция будет называться полной. Функция, равная просуммированной лямбда-функции <math>g(x)</math>, называется восстановленной и обозначается <math>Nf(x)</math>.
Для полной и неполной лямбда-функции справедливо выражение, получаемое из формулы (2):
<math>Nf(x)=f(x)-f(0)</math>.
Для полной лямбда-функции справедливо выражение:
<math>Nf(x)=f(x)</math>,
откуда следует, что <math>f(0)=0</math>.
Доказательство
Теорема подразумевает, что для данной функции <math>f(x)</math> существует лямбда-функция <math>g(x)</math> при <math>f(0)=0</math>. При <math>f(0)=0</math>, т. е. при отсутствии свободного члена достигается равенство <math>Nf(x)=f(x)</math> из положения 3. Это равенство обозначает, что сумма первых <math>x</math> членов последовательности, заданной лямбда-функцией, при <math>x\in \mathbb{N}</math> равно самой функции, а значит функция и равняется этой сумме.
Геометрический смысл теоремы о лямбда-функции
Геометрический смысл теоремы о лямбда-функции заключается в том, что в любом графике функции, представленном многочленом и проходящем через начало координат, на оси абсцисс на натуральных позициях можно провести вертикальные линии до пересечения с графиком функции, а из точек пересечения провести параллельные оси абсцисс лучи, в результате чего на линиях образуются пересечения с этим лучом, и длины получившихся отрезков, образованных соседними точками пересечения при нумерации снизу с единицы, можно задать функцией, аргумент которой принимает номер отрезка.
На иллюстрации отображены соответствующие отрезки, справа они пронумерованы. Геометрический смысл заключается в том, что существует такая функция, которая принимает в качестве аргумента номер отрезка и значение которой равно длине отрезка.
Описанная функция — это лямбда-функция <math>g(x)</math> такая, что функция графика <math>f(x)</math> равна <math>\Lambda g(x)</math> (т. е. <math>\sum_{k=1}^x g(k)</math>). Так как график проходит через начало координат, у его функции отсутствует свободный член, а значит по отношению к нему применима теорема о лямбда-функции:
<math>Nf(x)=f(x)-f(0)</math>.
Данное выражение, при <math>f(0)=0</math> принимает вид <math>Nf(x)=f(x)</math>. Так как <math>Nf(x) = \sum_{k=1}^x g(k)</math>, получим справедливое выражение, подтверждающее геометрический смысл теоремы:
<math>Nf(x) = f(x) = \sum_{k=1}^x g(k)</math>.
Справедливость этой формулы подтверждает существование функции <math>g(x)</math>.
Значение
Теорема о лямбда-функции позволяет разрешать рекуррентные соотношения вида:
<math>a_n = a_{n-1} + g(x)</math>.
В таком случае <math>a_n = \Lambda g(x)</math>. Так, для постоянного <math>g(x)</math>, равном <math>C</math> будет действовать формула:
<math>a_n = Cn</math>.
В качестве значения <math>a_1</math> в таком случае выступит <math>C</math>.
См. также
