Русская Википедия:Теорема о модулярности
Теоре́ма о модуля́рности — математическая теорема, устанавливающая важное соотношение между эллиптическими кривыми над полем рациональных чисел и модулярными формами, являющимися определёнными аналитическими функциями комплексного переменного. В 1995 году Эндрю Уайлс, не без помощи Ричарда Тейлора, доказал данную теорему для всех полустабильных эллиптических кривых над полем рациональных чисел. Доказательство остальных (неполустабильных) случаев теоремы явилось результатом работ Шаблон:Нп3, Шаблон:Нп3, Шаблон:Нп3 и Ричарда Тейлора. До 2001 года (полное доказательство было получено в 1999 году) теорема называлась гипотезой Таниямы — Шимуры — Вейля (или гипотезой Таниямы — Симуры — Вейля).
Теорема о модулярности входит в программу Ленглендса, которая, в частности, направлена на поиск взаимосвязи автоморфных форм или автоморфных представлений (удобное обобщение модулярной формы) с более общими объектами алгебраической геометрии, такими как эллиптические кривые над полем алгебраических чисел. Большинство гипотез в рамках данной программы пока не доказано.
Формулировка
Если <math>p</math> — простое число, а <math>E</math> — эллиптическая кривая над <math>\mathbb Q</math> (полем рациональных чисел), то можно упростить уравнение, определив <math>E</math> по модулю <math>p</math>; для любого конечного множества значений <math>p</math> можно получить эллиптическую кривую над конечным полем <math>F_p</math> из <math>n_p</math> элементов. Введём последовательность <math>a_p=n_p-p</math>, являющуюся важным инвариантом эллиптической кривой <math>E</math>. Любая модулярная форма также даёт нам последовательность чисел (с помощью преобразования Фурье). Эллиптическая кривая, последовательность которой совпадает с такой же из модулярной формы, называется модуляром.
Теорема о модулярности утверждает, что все эллиптические кривые над <math>\mathbb Q</math> являются модулярами.
История
Это утверждение впервые было высказано в виде гипотезы Ютакой Таниямой в сентябре 1955 года. Вместе с Горо Шимурой он немного уточнил формулировку в 1957 году, но не смог продолжить работу из-за психологических проблемШаблон:Sfn[1].
В 1960-х годах гипотезу внесли в программу Ленглендса по унификации математических гипотез. О гипотезе в 1970-е вспомнил и начал её активное изучение француз Андре Вейль, поэтому эту гипотезу часто называют гипотезой Таниямы — Шимуры — Вейля.
Гипотезой широко заинтересовались только когда в 1985 году Шаблон:Нп3 предположил, что гипотеза Таниямы — Шимуры (тогда она так называлась) является обобщением Великой теоремы Ферма, потому как любой контрпример к Великой теореме Ферма приводил в итоге к немодулярной эллиптической кривой. В 1986 году Шаблон:Нп3 доказал это предположение. В 1995 году Эндрю Уайлс и Ричард Тейлор доказали особый случай теоремы Таниямы — Шимуры (случай Шаблон:Нп3), которого было достаточно для доказательства Великой теоремы Ферма[2].
Полностью теорема о модулярности была доказана в 1999 году в результате трудов Шаблон:Нп3, Шаблон:Нп3, Шаблон:Нп3 и Ричарда Тейлора, которые, основываясь на работе Уайлса, доказали остальные (неполустабильные) случаи.
Из теоремы о модулярности следуют и другие теоремы теории чисел, похожие на Великую теорему Ферма. Например, «куб числа не может быть записан в виде суммы двух взаимно простых чисел, являющихся <math>n</math>-ной степенью натурального числа, если <math>n\geqslant 3</math>»[3].
В марте 1996 года Уайлс получил премию Вольфа вместе с Робертом Ленглендсом. Несмотря на то, что ни один из них полностью не доказал теорему, было заявлено, что они внесли существенный вклад, значительно облегчивший дальнейшее доказательствоШаблон:Sfn.
Примечания
Ссылки
- Darmon, Henri. A Proof of the Full Shimura-Taniyama-Weil Conjecture Is Announced, Notices of the American Mathematical Society, Vol. 46 (1999), No. 11. Содержит введение к теореме и обзор её доказательства.
- Conrad, Brian, Fred Diamond, Richard Taylor. Modularity of certain potentially Barsotti-Tate Galois representations, Journal of the American Mathematical Society 12 (1999), pp. 521—567. Приведено доказательство теоремы.
Литература
- ↑ Танияма покончил жизнь самоубийством в 1958 году, оставив довольно загадочную записку. Спустя примерно месяц самоубийство совершила его невеста Мисако Судзуки, оставив записку, в которой говорилось о том, что она должна воссоединиться со своим женихом.
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Случай <math>n=3</math> был известен ещё Эйлеру, а <math>n=4</math> самому Ферма.
