Русская Википедия:Теорема о примитивном элементе
Теорема о примитивном элементе — это результат в теории полей, описывающий условия, при которых конечное расширение поля является простым. Более подробно, теорема о примитивном элементе характеризует расширения конечной степени <math>E\supseteq F</math>, такие что существует примитивный элемент <math>\alpha\in E</math> с <math>E=F[\alpha]=F(\alpha)</math>.
Терминология
Пусть <math>E\supseteq F</math> — произвольное расширение поля. Элемент <math>\alpha\in E</math> называется примитивным элементом для расширения <math>E\supseteq F</math>, если
- <math>E=F(\alpha).</math>
Расширения, для которых существует хотя бы один примитивный элемент, называются простыми расширениями. Любой элемент <math>x\in E</math> простого расширения можно записать в виде
- <math>x=\frac{f_{n-1}{\alpha}^{n-1}+\cdots+f_1{\alpha}+f_0}{g_{k-1}{\alpha}^{k-1}+\cdots+g_1{\alpha}+g_0}</math> где <math>f_i,g_i\in F, \alpha\in E</math>
Если же, кроме того <math>E\supseteq F</math> сепарабельно и имеет степень n, существует <math>\alpha\in E</math>, такое что множество
- <math>\{1,\alpha,\cdots,{\alpha}^{n-1}\}</math>
образует базис E как векторного пространства над F.
Формулировка
Следующая формулировка теоремы принадлежит Эмилю Артину:
Теорема. Пусть <math>E\supseteq F</math> — конечное расширение поля. Тогда <math>E=F(\alpha)</math> для некоторого <math>\alpha\in E</math> тогда и только тогда, когда число промежуточных полей K вида <math>E\supseteq K\supseteq F</math> конечно.
Из этого утверждения следует более традиционная формулировка теоремы о примитивном элементе:
Следствие. Пусть <math>E\supseteq F</math> — конечное сепарабельное расширение. Тогда <math>E=F(\alpha)</math> для некоторого <math>\alpha\in E</math>.
Это следствие можно немедленно применить к произвольным алгебраическим числовым полям, так как поле <math>\mathbb Q</math> имеет характеристику 0, следовательно, любое его расширение сепарабельно.
Пример
Далеко не очевидно, что если добавить в <math>\mathbb Q</math> корни многочленов <math>x^2-2</math> и <math>x^2-3</math>, получив поле <math>\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})</math> степени 4 над <math>\mathbb{Q}</math>, то существует элемент <math>\gamma \in \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})</math>, через степени которого выражаются как <math>\sqrt 2</math>, так и <math>\sqrt 3</math>. Оказывается, однако, что этому условию удовлетворяет
- <math>\gamma = \sqrt{2} + \sqrt{3}</math>
Степени <math>\gamma, \gamma^2, \gamma^3</math> выражаются как сумма <math>\sqrt 2,\sqrt 3</math> и <math>\sqrt 2\cdot \sqrt 3</math> с целыми коэффициентами. Записав соответствующую систему линейных уравнений, можно выразить из неё <math>\sqrt 2</math> и <math>\sqrt 3</math> (например, <math>\sqrt{2} = \scriptstyle\frac{\gamma^3-9\gamma}2</math>), откуда следует, что <math>\gamma</math> является примитивным элементом.
Примечания
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра — М:, Наука, 1975
- Доказательство теоремы на mathreference.com
- Доказательство теоремы на сайте Кена Брауна
