Теорема о промежуточном значении (или Теоре́ма Больца́но — Коши́) утверждает, что если непрерывная функция, определённая на вещественном промежутке, принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.
Пусть дана непрерывная функция на отрезке <math>f\in C\bigl([a,b]\bigr).</math> Пусть также <math>f(a) \neq f(b),</math> и без ограничения общности предположим, что <math>f(a) = A < B = f(b).</math> Тогда для любого <math>C \in [A,B]</math> существует <math>c\in [a,b]</math> такое, что <math>f(c)=C</math>.
(Теорема о нуле непрерывной функции.) Если функция непрерывна на некотором отрезке и на концах этого отрезка принимает значения противоположных знаков, то существует точка, в которой она равна нулю. Формально: пусть <math>f\in C\bigl([a,b]\bigr),</math> и <math>\operatorname{sgn}(f(a)) \ne \operatorname{sgn}(f(b)).</math> Тогда <math>\exists c \in [a,b]</math> такое, что <math>f(c) = 0.</math>
В частности, любой многочленнечётной степени имеет по меньшей мере один нуль.
Замечание
Иногда (в учебных курсах) утверждение для нуля называют первой теоремой Больцано — Коши, а общее утверждение — второй теоремой[1]. На самом деле они эквивалентны.Шаблон:Sfn
Обобщение
Теорема Больцано — Коши допускает обобщение на более общие топологические пространства. Всякая непрерывная функция <math>f\colon X\to\R</math>, определенная на связном топологическом пространстве, принимающая какие-либо два значения, принимает и любое лежащее между ними. Формальная запись: пусть дано связное топологическое пространство <math>(X,\mathcal{T}),</math> и функция <math>f\in C(X).</math> Пусть <math>x_1,x_2\in X,\; f(x_1) = y_1,\; f(x_2) = y_2,</math> и <math>y_1 < y_2.</math> Тогда
<math>\forall y \in [y_1,y_2]\; \exists x\in X\; f(x) = y.</math>
В такой формулировке теорема является частным случаем теоремы о том, что образ связного множества при непрерывном отображении связен.
История
Теорема была сформулирована независимо Больцано в 1817 и Коши в 1821.
